7.5. Давление связности. Угол отклонения.

Уравнение (7.2) часто бывает удобно представить в той же форме, что и уравнение (7.1), записав его в виде

τ_пр = (σ +σ_с) tg φ (7.3)

где σ_с= с / tg φ = с ctg φ – давление связности грунта, суммарно заменяющее действие всех сил сцепления. Такая запись позволяет формально заключить, что проявление связности (сцепления) грунта как бы эквивалентно фиктивному увеличению нормального напряжения в плоскости сдвига, повышающему прочность грунта.

Теперь, выделив элементарную площадку в плоскости сдвига грунта, можно рассмотреть изменение на ней напряжений, действующих в процессе испытания образца (рис. 7.4). Примем величины с и φ постоянными и не зависящими от σ. Тогда общее значение нормального напряжения σ + σ_с в течение всего испытания остается также постоянным. Ступенчатое нагружение образца горизонтальной нагрузкой приводит только к возрастанию τ.

Рис. 7.4. Напряжения на элементарной площадке в плоскости сдвига грунта

При τ<τ_пр в образце развиваются некоторые горизонтальные перемещения δ, однако сдвиг еще не происходит и прочность грунта остается не исчерпанной. По мере возрастания τ_i, увеличивается угол отклонения Θ_i, равнодействующей нормальных и касательных сил p_i от оси нормальных напряжений. При этом всегда сохраняется условие

tg Θ_i = τ /( σ + σ_с). (7.4)

Как только величина τ, достигнет предельного значения, равного сопротивлению грунта сдвигу, т. е. τ_i = τ_пр произойдет разрушение грунта в плоскости сдвига и дальнейшее увеличение τ оказывается невозможным. При этом угол отклонения достигает своего максимального значения Θ_max. Тогда, подставив в (7.4) τ_i = τ_пр и tg Θ_i = tg Θ_max и сравнив полученное выражение с (7.3), можно записать важное условие

Θ_max = φ , (7.5)

т. е. максимальный угол отклонения равен углу внутреннего трения грунта. Очевидно, что это условие справедливо и для сыпучих грунтов, где σ_с =0.

7.6. Сопротивление сдвигу при сложном напряженном состоянии. Теория прочности Кулона — Мора.

В предыдущей лекции отмечалось, что схема одноплоскостного сдвига соответствует лишь частным случаям разрушения грунта в основании сооружений. В общем случае, как это делалось и при изучении деформируемости грунта, необходимо рассмотреть прочность грунта в условиях сложного напряженного состояния. Для этого используется теория прочности Кулона – Мора.

Пусть к граням элементарного объема грунта приложены главные напряжения σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃ (рис. 7.5, а). Будем постепенно увеличивать напряжение σ₁ оставляя постоянной величину σ₃. В конце концов в соответствии с теорией Кулона — Мора произойдет сдвиг по некоторой площадке, наклоненной к горизонтальной плоскости.

Рис. 7.5. Положение площадки скольжения (а); напряжения на наклонной площадке (б) и ориентация площадок скольжения относительно направления действия главных напряжений (в):

1,2 – площадки скольжения

Принимая в первом приближении, что промежуточное главное напряжение σ₂, действующее параллельно этой площадке, не влияет на сопротивление грунта сдвигу, исключим его из дальнейшего рассмотрения.

В отличие от схемы одноплоскостного сдвига, где положение поверхности разрушения было фиксировано зазором между верхней и нижней каретками, в случае сложного напряженного состояния положение этой площадки неизвестно. В теории Кулона — Мора принимается, что на площадке скольжения выполняется условие (7.1) для сыпучих или (7.2) для связных грунтов. Тогда определить положение площадки скольжения можно следующим образом. Запишем известные из курса сопротивления материалов выражения для касательного и нормального напряжений на наклонной площадке в виде (рис. 7.5, б):

τ_α = 1/2 (σ₁ – σ₃) sin 2α; σ_α =1/2 (σ₁ + σ₃) + 1/2 (σ₁ – σ₃) cos 2 α (7.6)

Согласно (7.2), на площадке скольжения эти напряжения в предельном состоянии будут связаны выражением

τ_α = σtg φ + c (7.7)

Тогда положение площадки скольжения можно определить из условия экстремума выражения (7.7)

∂(τ_α – σ_αtg φ – c) / ∂α = 0 (7.8)

подставив сюда соответствующие выражения из (47.6).

Дифференцируя в соответствии с (7.8) и проведя преобразования, получим

α_пр = π/4 ± φ/2. (7.9)

Отсюда следует, что в предельном состоянии в каждой точке грунта имеются две сопряженные площадки скольжения, наклоненные под углом π/4 — φ/2 к линии действия максимального и π/4 + φ/2 — минимального главного напряжения (рис. 7.5, в).