5.4. Основная теорема зацепления

Вывод теоремы и ее формулировка определяют условие, которому должны отвечать боковые профили зубьев, находящихся друг с другом в зацеплении.

Рассмотрим картину касания двух боковых профилей зубьев. Пусть эти профили будут очерчены какими-то кривыми (рис. 5.6), касающимися друг друга в точке М.

Рис. 5.6. Картина зацепления двух соприкасающихся боковых профилей

Прямая n-n является общей нормалью к этим кривым. Представим вращение профилей зубьев вокруг осей О₁ и О₂ с угловыми скоростями ω₁ и ω₂. Тогда векторы окружных скоростей и точек M₁ и M₂, принадлежащих этим профилям, будут направлены перпендикулярно радиусам О₁M и O₂M, а их величины

,

.

Спроектируем эти скорости на нормаль n-n и получим векторы и .

Для соблюдения нормальной работы зацепления необходимо обеспечить равенство этих векторов:

.

В противном случае будет или «убегание» левого профиля (если ), или «набегание» правого на левый ( ), что в принципе невозможно.

Рассмотрим подобие треугольников:

.

Из свойства соотношения сторон составим уравнение пропорции

,

откуда

.

Из аналогичного подобия и получим

.

Так как , то

,

или

. (5.1)

Н

.

о , тогда , а уравнение (5.1) запишем в виде

Это и есть основная теорема зацепления: нормаль n-n к профилям, образующим высшую кинематическую пару, проведенная к точке их касания, делит межосевые расстояния на отрезки, обратно пропорциональные угловым скоростям, с которыми эти профили вращаются.

5.5. Эвольвента и ее свойства

Наибольшее распространение получили зубчатые колеса, у которых боковые профили зубьев очерчены кривой под названием эвольвента. Соответственно профиль такого зуба и само зацепление называются эвольвентными.

Эвольвента – кривая, которую очерчивает точка, принадлежащая прямой, перекатывающейся по окружности без скольжения.

Координаты любой точки эвольвенты определяются углом и длиной (рис. 5.7).

Исходя из свойств эвольвенты , и т.д.

Рис. 5.7. Построение эвольвенты

Из соотношения углов и дуг окружности радиуса r_b следует, что

,

а из треугольника ОМ₃^/М₃ –

.

Отсюда

,

. (5.2)

Функция угла (5.2) называется инволютой угла :

Для определения ее численного значения в учебниках и справочниках по расчету зубчатых передач имеются таблицы.

Определим зависимость от других геометрических параметров:

.

Отсюда

Окружность, по которой перекатывается прямая, называется основной, а ее радиус , где – угол наклона бокового профиля зуба инструментальной рейки, служащей для нарезания зубьев.

Свойства эвольвенты:

– все точки эвольвенты лежат вне основной окружности радиуса r_b;

– нормаль к эвольвенте касательна к основной окружности;

– центры кривизны эвольвенты лежат на основной окружности.

5.6. Построение картины зацепления колес эвольвентой цилиндрической передачи

Для построения картины зацепления необходимо знать числа зубьев колес z₁ и z₂, модуль m и угол зацепления . Зацепление стандартное.

Вычисляем все необходимые геометрические параметры:

радиусы делительных окружностей

, ;

радиусы основных окружностей

, ;

межцентровое расстояние

;

радиусы окружностей выступов

, ;

радиусы окружностей впадин

, ;

шаг по делительной окружности ;

толщину зуба и ширину впадины по делительной окружности

;

начальные окружности , .

На прямой линии откладывается межосевое расстояние (рис. 5.8)

О₁О₂ = а_W = r_W1 + r_W2.

Из центров О₁ и О₂ проводятся дуги всех окружностей колес (делительные, основные, начальные, вершин, впадин). При этом дуги начальных окружностей должны соприкасаться в полюсе зацепления Р.

Проводится общая касательная АВ к основным окружностям, которая обязательно должна пройти через полюс зацепления Р.

Через полюс зацепления Р проводится линия, перпендикулярная отрезку О₁О₂.

На построенном чертеже измеряют величину угла зацепления

_W = РО₁А = РО₂В

и убеждаются в ее совпадении с расчетной величиной.

С помощью шаблонов строят профили зубьев колес 1 и 2, соприкасающиеся в полюсе Р. Отмечают оси симметрии этих зубьев и, откладывая влево и вправо от них шаги (угловые _i или окружные Р_i по дугам делительных окружностей), проводят оси симметрии еще двух пар зубьев, после чего по шаблонам строят их профили. При построении этих профилей следует учитывать, что они должны касаться друг друга в точках К₁ и К₂, которые должны лежать на нормали n₁ - n₁.

Определяют действительную (практическую) линию зацепления ab. Ее крайние точки лежат на пересечении теоретической линии зацепления АВ с окружностями вершин колес.

Затем находят границы рабочих участков поверхностей зубьев. Для этого радиусами О₁а и О₂b проводят дуги до пересечения их с профилями зубьев, соприкасающимися в полюсе Р.

Определяют дугу зацепления cd, для чего один из профилей зубьев, соприкасающийся в полюсе Р с боковым профилем другого зуба, с помощью шаблона строят (пунктирной линией) в таком положении, когда он проходит через крайние точки a и b практической линии зацепления. Расстояние между этими профилями по дуге начальной окружности является дугой зацепления (cd).

Коэффициент перекрытия вычисляют по формуле (см. параграф 5.7)

^гр_{ =} cd/Р = (ab)/(cos₀·P),

где Р – окружной шаг; (ab) – длина практической линии зацепления, измеренная на чертеже – картине зацепления.

Рассчитанную таким образом величину коэффициента перекрытия сравнивают с её значением _, найденным ниже аналитически (с использованием расчетной формулы). Величина коэффициента перекрытия ^гр_, найденная графическим методом (с использованием данных чертежа – картины зацепления колес), не должна отличаться от её значения, вычисленного по аналитической зависимости, более чем на 5%.

Рис. 5.8. Построение картины зацепления колес