Операции поворота в бинарном дереве поиска

В псевдокоде процедуры Left_Rotate предполагается, что right [х] nil [Т], а родитель корневого узла - nil [T].

Left_Rotate(T, х)

1. у right[x] Устанавливаем у.

2. right[x] left[y] Левое поддерево у становится правым поддеревом х

3 if left[y] nil[T]

4 then p[left[y]] х

5. р[у] р[х] Перенос родителя х в у

6. if p[x] = nil[T]

7. then root[T] у

8. else if x = left[p[х]]

9 then left [p[x]] у

10 else right[p[x]] у

11. left[y] x x — левый дочерний у

12. p[x] у

31. Добавление вершины в красно – черном дереве.

Сначала выполняется обычная операция включения в двоичное дерево Tree_Insert и новая вершина помечается красным цветом. После этого восстанавливаются RB-свойства, если они нарушены путем перекраски вершин и вращений.

Рассмотрим случаи нарушения RB-свойств на примере включения в дерево:

П ри включении х нарушено третье RB-свойство для вершины 5 (оба сына должны быть черные). Т.е. RB-свойство нарушается, если родитель нового узла красный.

Как можно восстановить его:

Случай 1: Если родитель красный, то родитель родителя – черный (в силу RB-свойства 2). Если у деда (7) второй сын – у ( дядя нового узла х) тоже красный, то можно перекрасить указанных предков: сделать деда красным, а родителя и дядю – черными. Это не изменит черную высоту дерева и восстановит третье свойство для родителя(5).

П осле перекраски!!!

Т .е. теперь 5 – черная вершина, которая может иметь и красного и черного сына. Но появился новый красный узел х(7). Теперь нарушено 3-е RB-свойство родителя узла 7 (2), т.к. этот узел тоже красный. К сожалению дядя (14) не красный и перекраску делать нельзя, не нарушив черной высоты. Тогда используем LL – поворот родителя х – (2).

Исправлено нарушение 3-го свойства для узла 2, но нарушено для узла 7.

С лучай 3 отличается от случая 2 тем, что х является левым, а не правым сыном своего родителя. В этом случае делаем правый поворот родителя (11).

Красную вершину 7, оказавшуюся в корне, окрашиваем в черную, а вершины 2 и 11 – в красные. Это не нарушит RB-свойство 4).

RB_Insert (T, x)

1. Tree_Insert (T, x)

2. color [x] ← RED

3. while x ≠ root [T] and color [p[x]] = RED

4. dv if p[x] = left [p[p[x]]]

5. then y ← right [p[p[x]]]

6. if color [y] = RED

7. then color [p[x]] ← BLACK случай 1

8. color [y] ← BLACK случай 1

9. color [p[p[x]]] ← RED случай 1

10. x ← p[p[x]] случай 1

11. else if x = right [p[x]]

12. then x ← p[x] случай 2

13. Left_Rotate (T, x) случай 2

14. color [p[x]] ← BLACK случай 3

15. color [p[p[x]]] ← RED случай 3

16. Right_Rotate (T, p[p[x]]) случай 3

17. else (симметричный текст с заменой left ↔ right)

18. color [root[T]] ← BLACK

При включении, если выпадает случай 3, выполняется не более одного вращения, и в случае 2 – не более двух вращений.