Основні поннятя логіки: форми мислення, логічна теорія, закони логіки, нормативні принципи мови науки.
Розглядаючи питання про предмет тієї або іншої науки, не можна обійтися без з'ясування специфіки її законів. Сказане, звичайно ж, відноситься і до логіки. Що ж таке логічні закони?
Вище вже мовилося, що будь-який вислів може бути оцінений як істинний або хибний. Однак способи встановлення істинності або хибності висловів різних типів можуть істотно відрізнятися. В деяких випадках значення висловів встановлюють шляхом безпосереднього звернення до дійсності (так поступають, наприклад, якщо хочуть з'ясувати, чи істинні вислови "Йде дощ", "Деякі школярі здібні"). В інших випадках оцінка висловів здійснюється в рамках конкретних наукових теорій (наприклад, вказаним чином поступають, встановлюючи значення вислову "Дві прямі, паралельні третій, паралельні між собою"). Однак для певного класу висловів питання про їх істинність або хибність може бути вирішено з використанням виключно логічних засобів, на основі аналізу їх логічних форм.
На прикладі покажемо, як встановлюється в класичній логіці значення вислову:
(1) "Йде дощ, або невірно, що йде дощ".
Замінюючи параметром р простий вислів "Йде дощ", одержуємо логічну форму вислову (1):
(2) р або невірно, що р.
Цей вираз містить інформацію, яка стверджує, що насправді має місце якесь з двох положень справ: (а) ситуація, описана в р, (б) відсутність такої ситуації. Дана інформація базується на значенні логічних термінів "або" і "невірно, що" і є загальною частиною змісту висловів форми (2).
Тепер здійснюватимемо всілякі інтерпретації параметра р в (2), тобто підстановки замість нього довільних простих висловів. Очевидно, що при деяких інтерпретаціях на місці р виявиться істинне, а в решті випадків - хибний вислів. Якщо р проінтерпретоване як істинний вислів, то матиме місце положення справ (а) і форма (2) перетвориться на істинний вислів. Якщо ж р проінтерпретоване як хибний вислів, то матиме місце положення справ (б) і форма (2) знову-таки перетвориться в істинний вислів. Таким чином, будь-який вислів вказаної форми є істинним, у тому числі й вислів (1). Він істинний незалежно від того, що насправді відбувається, йде дощ чи ні. Істинність вислову (1) обумовлена його логічною формою.
Вислови, істинні через свою логічну форму, називають логічно істинними. Самі ж логічні форми таких висловів - наприклад, вираз (2) - називають логічними законами.
Логічний закон - це така логічна форма вислову, яка приймає значення "істина" при будь-якій інтерпретації параметрів, що входять до її складу.
Крім логічно істинних існує ще один тип висловів природної мови, значення яких можна встановити, грунтуючись тільки на аналізі їх логічних форм. Це логічно хибні вислови. Їх логічні форми приймають значення "хиба" при будь-якій інтерпретації параметрів в їх складі. Приклад такого вислову:
(3) "Йде дощ, і невірно, що йде дощ".
Його логічною формою є вираз
(4) р і невірно, що р.
Очевидно, що в результаті підстановки замість параметра р у форму (4) довільного вислову обов'язково вийде хибний вислів. Тому вислів (3) хибний через свою логічну форму.
Вислови, які не є ані логічно істинними, ані логічно хибними, називають логічно недетермінованими. Їх значення неможливо встановити, користуючись виключно логічними засобами, оскільки деякі вислови такої форми істинні, а деякі хибні. Прикладом логічно недетермінованого вислову є
(5) "Йде дощ, або світить сонце".
Його логічна форма має вигляд
(6) р або q.
Якщо при інтерпретації параметрів р і q замість якого-небудь з них підставити істинний вислів, то вираз (6) перетвориться на істинний вислів. Якщо ж і замість р, і замість q підставити хибні вислови, то отриманий вираз виявиться хибним.
В попередньому пункті наголошувалося, що логічна форма мовного контексту може виявлятися з різним ступенем глибини. Для успішного вирішення питання про те, чи є деякий вислів логічно істинним, необхідним є адекватний рівень аналізу при виявленні його форми. Пояснимо сказане на прикладі. Розглянемо вислів
(7) "Будь який школяр не є здібним або деякі школярі здібні".
Даний вислів складається з двох відмінних один від другого простих висловів, які зв'язані сполучником "або". Тому якщо при виявленні його логічної форми ми повністю абстрагуватимемося від змісту простих висловів, то отримаємо вираз
(8) р або q,
де буквою р заміщено вислів "Будь який школяр не є здібним", а буквою q - "Деякі школярі здібні". Легко встановити, що вираз (8) не належить до числа логічних законів.
Виявимо тепер логічну форму вислову (7) іншим способом, враховуючи внутрішню структуру простих висловів. Заміщаючи загальні терміни "школяр" і "здібна людина" параметрами S і Р відповідно, отримаємо вираз
(9) Будь який S не є Р або деякий S є Р.
Даний вираз є логічним законом, оскільки будь-який вислів цієї форми істинний. Отже, вислів (7) логічно істинний, але для встановлення даного факту був потрібний достатньо глибокий рівень аналізу його логічної форми.
Поняття логічного закону разом з поняттям логічного слідування є найважливішим в дедуктивній логіці. Адже до основних задач дедуктивної логіки належить виділення і систематизація класу логічних законів, а також форм правильних умовиводів (таких умовиводів, в яких висновки логічно випливають з засновків). За допомогою яких засобів і методів розв'язуються ці проблеми в сучасній логіці?
Для досягнення вказаної мети створюються особливі логічні теорії. Їх побудова здійснюється в спеціальних штучних мовах, які називаються формалізованими. Формалізовані мови призначені для точного виразу логічних форм висловів природної мови, без чого, як вже мовилося, неможливо виділити множини логічних законів і форм правильних висновків.
У принципі, логічні форми висловів можна було б виражати і в звичайній, природній мові (як це робилося дотепер), необхідно лише доповнити її списками параметрів, призначених для заміщення простих висловів або нелогічних термінів. Однак природна мова має ряд особливостей, які серйозно утруднюють процедуру точного виразу логічних форм.
По-перше, в ній відсутні чіткі синтаксичні критерії правильності побудови речень, тому та ж трудність виникає і щодо їх логічних форм.
По-друге, граматична структура висловів не завжди відповідає їх логічній формі.
По-третє, вирази природної мови багатозначні і допускають різні трактування. Наприклад, вираз вигляду "А або В і С" можна тлумачити і як розділовий вислів, частини якого "А" і "В і С" зв'язані сполучником "або", і як сполучне, в якому частини "А або В" і "С" поєднані сполучником "і". Більш того, самі логічні сполучники в різних контекстах природної мови можуть мати різні сенси. Наприклад, сполучник "якщо...то" у вислові "Якщо вода нагріта до 100°, то вона кипить" виражає умовний зв'язок, а у вислові "Якщо Волга впадає в Каспійське море, то Дніпро - в Чорне" умовного зв'язку не виражає.
Формалізовані мови позбавлені вказаних недоліків. В них є чіткі і ефективні правила побудови логічних форм висловів, причому кожний правильно побудований вираз цих мов має єдино можливе смислове трактування.
Наведемо загальну схему побудови формалізованої мови. Спочатку задається її алфавіт - сукупність найпростіших, початкових символів, з яких будуються вирази мови. До алфавіту включають:
1) логічні символи - спеціальні знаки для логічних термінів,
2) нелогічні символи – параметри, призначені для заміщення простих висловів або нелогічних термінів різних категорій,
3) технічні символи (наприклад, дужки).
Далі формулюються правила побудови з вихідних символів різних типів виразів даної мови. Зокрема, задається клас формул, за допомогою яких фіксуються логічні форми висловів.
Визначення виразів всіх типів у формалізованих мовах має ефективний характер. Користуючись цими визначеннями, ми можемо, наприклад, однозначно вирішити питання, чи належить деякий символ до числа знаків алфавіту, і якщо – так, то до якої категорії, а для довільної послідовності символів – чи є вона правильно побудованою формулою, чи ні.
В рамках формалізованих мов будуються логічні теорії, які вирішують наступні задачі:
1) виділяють в множині формул мови клас формул, які є логічними законами,
2) виділяють в множині переходів
F1,
F2, …, Fn
F
(переходів від формул F1, F2, … Fn до формули F) клас таких переходів, які є формами правильних умовиводів, або інакше, в яких формула F логічно випливає з F1, F2, … Fn.
При рішенні вказаних задач використовують сформульовані раніше поняття логічного закону і логічного слідування, які є загальними для всіх логічних теорій. Однак в кожній окремій теорії відбувається конкретизація цих понять. Перш за все для кожного виду нелогічних символів алфавіту задається клас їх допустимих інтерпретацій, тобто вказується, якого типу об'єкти можуть відповідати як значення нелогічним символам різних категорій в процесі інтерпретації формул. В подальшому, для кожного виду правильно побудованих виразів формалізованої мови формулюються правила приписування їм значень при довільній інтерпретації нелогічних символів в їх складі. Зокрема, визначаються умови істинності і умови хибності формул різних типів. При цьому задається точне значення логічних символів з алфавіту.
Законом логічної теорії є формула, що приймає значення "істина" при будь-яких допустимих інтерпретаціях нелогічних символів, що входять в неї. Ці формули називають також тотожно-істинними або загальнозначущими.
Відношення логічного слідування визначається в рамках логічної теорії таким чином: з формул F1, F2, … Fn логічно слідує (випливає) формула F, якщо і тільки якщо при будь-якій допустимій інтерпретації нелогічних символів, при якій формули F1, F2, … Fn приймають значення "істина", формула F також прийме значення "істина".