8. Коррекция системы управления. Синтез регулятора

Рассмотрим четыре альтернативных метода, использующих разные формы математического представления исходной системы:

1. Операторный метод– метод, основанный на заданиижелаемой передаточной функции скорректированной системы.По известным коэффициентам полинома исходной системы и желаемому полиному проектируемой системы вычисляются коэффициенты передаточной функции регулятора. Разработаны рекомендации по применению стандартных передаточных функций различных степеней.

2. Метод, основанный на задании желаемой логарифмической частотной характеристики. Этот классический метод позволяет «вручную» построить частотные характеристики системы и по ним оценить ее устойчивость, ошибки управления, параметры переходного процесса.

3. Метод корневого годографа.Matlabсодержит инструментSISODesignTool, позволяющий произвольно изменять положение нулей и полюсов исходной системы и одновременно наблюдать форму логарифмической частотной характеристики. Отсутствие четких методик расстановки нулей и полюсов окупается простотой и оперативностью их изменения. Наилучшие результаты инструментSISOпоказывает при его сочетании с операторным методом расстановки корней.

4. Метод модального управления. Модальный регулятор - развитие идеи операторного метода. Как и в операторном методе, желаемая характеристика задается корнями характеристического полинома, однако синтез регулятора проводится на базе уравнений пространства состояний.

1. Синтез регулятора по желаемой передаточной функции (операторный метод)

Пусть регулятор включен последовательно с объектом управления. Введем обозначения:

для объекта управления: ,и– известные полиномы степенейи,;

для регулятора:, причем ни степенииполиномови, ни их коэффициенты не известны.

Тогда желаемая передаточная функция замкнутой системы

=.

Сформулируем задачу коррекции так: для произвольно выбранного (желаемого) полинома и заданных полиномови найти неизвестные полиномы и.

При этом неизвестные коэффициенты полиномов иопределяются из системы уравнений, получающихся приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях обеих частей полиномиального уравнения (8.1):

= (8.1)

Число уравнений равно , а число неизвестных равно, и чтобы система была разрешима, число уравнений не должно превышать числа неизвестных:

или (8.2)

С другой стороны, порядок системы должен быть равен сумме порядков его частей – объекта и регулятора: . Основное назначение регулятора – компенсация нулями нежелательных полюсов объекта. Появление у регулятора полюсов – это вынужденная мера, вызванная требованием физической реализуемости оператора:. Поэтому, как правило, выбирают либо, либо. Если принять порядок числителяравным порядку знаменателя, из (8.3) можно определить и порядок регулятора, и порядок желаемого полинома:

;

. (8.3)

Пример

Передаточная функция объекта .

Поскольку , порядок регулятора, а порядок синтезируемой системы. Пусть желаемый характеристический полином имеет кратные корни:, что дает импульсную переходную функцию

.

Чтобы выполнялось условие (8.3), зададим регулятор вида:

.

Степени полиномов равны: ,,,, .

Подставим эти полиномы в уравнение (8.1):

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим:

, ,,, а искомая передаточная функция регулятора

Таким образом, задача синтеза регулятора трансформировалась в задачу задания желаемой передаточной функции, т.е. операторов и.

Существует несколько стандартных нормированных форм передаточных функций […].

Одной из них мы уже воспользовались: это передаточные функции с одинаковыми полюсами на вещественной оси Желаемая система с такой передаточной функцией обладает монотонной переходной характеристикой, неплохим быстродействием и большим запасом устойчивости.

Вторая распространенная форма – передаточная функция с полюсами, имеющими одинаковые действительные части и мнимые части, образующие арифметическую прогрессию. Существует оптимальное отношение разности арифметической прогрессии к действительной части, дающее минимальное время регулирования.

Третья форма – передаточная функция с полюсами на вещественной оси, расположенными по арифметической прогрессии. Эта форма рекомендуется для систем с астатизмом второго порядка.

Однако более универсальным подходом является задание желаемой характеристики в форме передаточной функции цифрового нерекурсивного фильтра нижних частот(ФНЧ). Это позволяет воспользоваться мощным инструментом проектирования цифровых фильтров, разработанным для обработки сигналов.Matlabимеет пакетыSignal Processing ToolboxиFilter Design, используя которые, можно подобрать желаемую передаточную функцию на основе самых жестких требований, представленных в самой разнообразной форме.

Покажем, как синтезировать наиболее популярные фильтры – Бесселя, Баттерворта и Чебышева. Хотя при разработке этих фильтров решалась задача минимального искажения сигнала в полосе пропускания и максимального подавления вне ее, для невысоких порядков фильтра () они дают очень хороший переходный процесс.

Передаточную функцию фильтра Бесселя можно синтезировать в двух формах. Через полюсы и коэффициент передачи передаточной функции: ,

либо через коэффициенты числителя и знаменателя:

.

В первом случае фильтр синтезируется командой [z,p,k]=besselap(n), гдеn– порядок фильтра, во втором случае – командой[b,a]=besself(n,wc), в которой помимо порядкаnзадается частота срезаwc(рад/с):

%% Фильтр Бесселя

[b,a]=besself(4,100)

W1=tf(b,a) % передаточная функция

figure(1)

step(W1) % переходный процесс

hold on % наложение для сравнения фильтров

figure(2)

freqs(b,a) % частотная характеристика

hold on

Фильтр Баттерворта синтезируется аналогично: [z,p,k]= buttap(n). Как и в фильтре Бесселя,z(zeros) – пустой массив, поскольку передаточная функция не имеет нулей. Аналогичная команда для фильтра Чебышева помимо задания порядка требует задания уровня пульсаций в полосе пропускания (обычно 1 дБ):[z,p,k]=cheb1ap(n). В обоих случаях синтезируется фильтр с частотой среза 1 рад/с.

Это фильтр – прототип, из которого потом создается фильтр с требуемой частотой среза wc:[bt,at]=lp2lp(b,a,wc)

На рис. 8.1 приведены графики переходного процесса для фильтров – прототипов.

Рис. 8.1. Переходные процессы для разных фильтров

2. Синтез модального регулятора

Краткие теоретические сведения

При анализе и синтезе систем в пространстве состояний все переменные, характеризующие систему или имеющие к ней прямое отношение, делятся на входные переменные, представляющие собой управляющие или возмущающие воздействия, выходные переменные, представляющие интерес для исследователя, и промежуточные переменныеили переменные состояния, определяющие динамическое поведение исследуемой системы. В основе этой формы математического описания лежит представление дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши, которое дополняется алгебраическими уравнениями выхода. В векторно-матричной форме эти уравнения записываются следующим образом:

(8.4)

где , , и – матрицы коэффициентов размерности ,,,соответственно; – число входов; – число выходов; – вектор-функция управляющих воздействий размерности ; – вектор-функция переменных состояния размерности ;– вектор-функция выходных координат размерности . Матрица характеризует динамические свойства системы, матрицу называют матрицей управления, она определяет характер воздействия входных переменных на переменные состояния . Алгебраическое уравнение связывает выходные переменныес переменными состояния через матрицу связи . Обычно в системах автоматического управления матрица , она характеризует непосредственное воздействие входов на выходы.

Рассмотрим линейную систему, записанную в уравнениях переменных состояния:

(8.5)

Для системы с одним входом и одним выходом переход от ее передаточной функции к описанию в пространстве состояний осуществляется следующим образом:

1. передаточная функция приводится к виду:

; (8.6)

2. после чего составляются система уравнений в форме Коши:

Матрицы состояния в каноническом управляемом базисе имеют вид:

Для синтеза модального регулятора объект, описываемый уравнениями (8.5), должен быть полностью управляемым и наблюдаемым.

Полная управляемость – это возможность перевода объекта из начального состояния в любое наперед заданное положениепри ограниченном управляющем воздействии. Наблюдаемость – возможность по выходному векторуопределить вектор состояния.

Для анализа управляемости и наблюдаемости можно воспользоваться критерием Калмана, который сводится к проверке рангов матриц управляемости и наблюдаемости:

.

Чтобы система была полностью управляема, ранг матрицы должен быть равен порядку системы (). Аналогично, чтобы система была полностью наблюдаема, ранг матрицыдолжен быть равен порядку системы.

Синтез регулятора состояний

Регулятор состояния (8.7) представляет собой отрицательную обратную связь по всем компонентам вектора состояния. При этом порядок регулятора равен порядку системы.

. (8.7)

Замкнутая система управления получается объединением объекта:

,

и регулятора состояния:

.

Матрица состояний замкнутой системы (8.8), должна иметь желаемые собственные значения. Коэффициентыматрицы(8.9) находятся из характеристического полинома(7.13), построенного по желаемым собственным числам. Коэффициенты матрицы обратных связей по состояниюнаходятся из уравнения (7.11), в случае канонического управляемого базиса.

. (8.8)

(8.9)

.

Проблема выбора желаемых корней – это и есть основная проблема синтеза в данной методике. Существуют различные методики выбора желаемых корней, например, биноминальное распределение корней, распределение по Баттерворту, выбор корней по некоторому интегральному показателю качества и т.д. Эти методики позволяют добиться оптимальных по соответствующим критериям переходных процессов.

Однако произвольный выбор корней и простота определения коэффициентов обратных связей может привести к неверному выводу о том, что в замкнутой системе можно добиться любого качества процессов управления. В рамках линейных математических моделей это, разумеется так. Но линейные модели адекватны реальным системам только для малых отклонений переменных состояния и управления и ограниченных диапазонов частот. Стремление к быстрому затуханию процессов – выбор больших по модулю желаемых корней приводит к тому, что некоторые из переменных состояния и переменная управления за время процесса изменяются с большой скоростью и принимают очень большие значения. Для объяснения быстрых движений исходные модели оказываются не вполне адекватными системе – в них не учтены малые инерционности объекта, измерителей, исполнительных механизмов, ставшие теперь существенными. Поэтому при назначении желаемых собственных значений матрицы системы следует ориентироваться на границы области адекватности . Кроме того, необходим анализ процессов в синтезируемой системе при типовых и других начальных условиях с целью проверки допустимости отклонений переменных состоянияи управления. Синтез регулятора в реальных системах – это часто итеративный процесс, т.к. не всегда удается с первого раза добиться желаемых свойств в реальной нелинейной системе.

Синтез наблюдателя состояния

При построении регулятора предполагалось, что все переменные состояния объекта управления могут быть измерены непосредственно. Однако, как правило, измеряются только переменные выхода, число которых меньше порядка модели объекта. Если объект наблюдаем полностью, то по измеренным значениям переменной выхода можно вычислять текущее состояние объекта. При этом управляющее воздействие формируется по оценкам вектора состояния:

.

Наблюдатель состояния представляет собой модель объекта, охваченную обратной связью по отклонению выходов моделии объекта. Оценка вектора состоянияотличается от состоянияобъекта из-за различия начальных условий, действующих на объект возмущений, а также неточности описания объекта. Однако, при правильном выборе матрицы обратной связи наблюдателяоценкадолжна асимптотически стремиться к состоянию объекта. Задача определения матрицыявляется дуальной по отношению к задаче определения матрицы. Поэтому матрицу наблюдателя можно найти теми же методами, если вместо матрицпринять пару.

Рассмотрим простейший случай, когда система задана в каноническом наблюдаемом базисе (переход из произвольного базиса в каноническую форму, осуществляется при помощи соответствующего линейного преобразования). Сначала, задаются желаемые собственные значения замкнутого наблюдателя , затем, по желаемым корням записывается характеристический полином. Далее, с использованием коэффициентов характеристического полиномастроится матрица замкнутого наблюдателя(8.10). Коэффициенты матрицынаходятся из уравнения (7.16). В данном случае.

(8.10)

.

Собственные значения, заданные при синтезе наблюдателя состояния должны обеспечивать большее быстродействие, чем собственные значения, заданные при синтезе регулятора.

На рис. 8.2. представлена структурная схема замкнутой системы с регулятором и наблюдателем состояния.

Рис. 8.2. Замкнутая система управления с регулятором и наблюдателем состояния

Пример синтеза модального регулятора в Matlab

Рассмотрим синтез модального регулятора на примере объекта с передаточной функцией (8.11).

. (8.11)

В окне команд Matlab создадим модель нашей системы с помощью следующих команд:

>> w1=tf([30],[1,0]); % редуктор

>> w2=tf([1],[0.1,0,-1]); % велосипед

>> w3=tf([1],[0.0009,0.048,1]); % электродвигатель

>> WR=w1*w2*w3;

В результате в рабочей области появились объекты-передаточные функции w1, w2, w3 и WR – передаточная функция разомкнутой системы (ПФ), представляющая собой последовательное соединение звеньев. Убедимся что ПФ задана правильно, введем команду:

>> WR

В результате, в окно команд должна быть выведена передаточная функция WR:

Transfer function:

30

----------------------------------------------------

9e-005 s^5 + 0.0048 s^4 + 0.0991 s^3 - 0.048 s^2 - s

Выведем полюсы WR с помощью команды:

>> pole(WR)

В результате в окне команд получим:

ans =

0

-26.6667 +20.0000i

-26.6667 -20.0000i

3.1623

-3.1623

Видно, что характеристический полином (ХП) имеет один правый полюс – значит система неустойчива. Перейдем от представления в виде ПФ к форме пространства состояний. Ведем в окне команд:

>>[A B C D]=ssdata(WR)

В рабочей области появятся новые переменные A, B, C и D, которые также будут выведены на экран:

A = -53.3333 -34.4097 2.0833 5.4253 0

32.0000 0 0 0 0

0 8.0000 0 0 0

0 0 8.0000 0 0

0 0 0 0.0625 0

B = 64

0

0

0

0

C = 0 0 0 0 40.6901

D = 0

Теперь вычислим собственные числа матрицы A:

>>eig(A)

Если все было введено правильно, полученные значения будут совпадать с вычисленными ранее полюсами передаточной функции WR.

Прежде чем синтезировать регулятор, проверим управляемость и наблюдаемость системы. Получим матрицы управляемости U и наблюдаемости V:

>>V=obsv(A,C);

>>U=ctrb(A,B);

А теперь проверим ранги полученных матриц:

>>rank(U)

>>rank(V)

Проверка покажет, что ранги матриц равны порядку системы (5), и согласно критериям Калмана система полностью наблюдаема и управляема.

Для синтеза регулятора будем использовать распределение корней по Баттерворту (таблица 8.1.).

Таблица 8.1 Распределение корней по Баттерворту

N	Корни
2	-0.7071 + 0.7071i	-0.7071 - 0.7071i
3	-1.0000	-0.5000 + 0.8660i	-0.5000 - 0.8660i
4	-0.3827 + 0.9239i	-0.3827 - 0.9239i	-0.9239 + 0.3827i	-0.9239 - 0.3827i
5	-0.3090 + 0.9511i	-0.3090 - 0.9511i	-1.0000	-0.8090 + 0.5878i	-0.8090 - 0.5878i

Зададим вектор желаемых корней:

>>p=[-0.309+0.9511i -0.309-0.9511i -1.0 -0.809+0.5878i -0.809-0.5878i]*15;

А теперь вычислим матрицу коэффициентов обратных связей K:

>>K=place(A,B,p)

В результате получим следующей коэффициенты:

K =-0.0749 0.0376 1.1112 1.3347 92.7029

Проверим собственные значения матрицы замкнутой системы:

>>eig(A-B*K)

На экран будут выведены корни, в точности совпадающие с желаемыми, то есть синтез проведен корректно.

Желаемые корни наблюдателя назначим таким образом, чтобы процессы в нем происходили быстрее, чем в объекте:

>>pn=[-0.309+0.9511i -0.309-0.9511i -1.0 -0.809+0.5878i -0.809-0.5878i]*30;

Вычислим матрицу обратной связи наблюдателя:

>>L=place(A',C',pn)'

Получим коэффициенты:

L =

1.0e+003 *

0.6659

-0.7092

1.2569

0.5026

0.0011

Объединим регулятор состояния и наблюдатель в одном динамическом регуляторе (рис. 7.2).

Рис. 7.2. Замкнутая система с динамическим регулятором

Матрицы динамического регулятора вычисляются по команде:

>> [Ar Br Cr Dr] = reg(A,B,C,D,K,L);

Вычислим передаточную функцию динамического регулятора:

>> [numr denr]=ss2tf(Ar,Br,Cr,Dr);

>> Wreg=tf(numr,denr)

В результате получим следующую передаточную функцию:

Transfer function:

2091 s^4 + 1.228e005 s^3 + 3.111e006 s^2 + 1.987e007 s + 5.537e007

-------------------------------------------------------------------

s^5 + 92.29 s^4 + 4580 s^3 + 1.568e005 s^2 + 3.568e006 s + 5.85e007

Построим передаточную функцию замкнутой системы с регулятором:

>> Wz=feedback(WR,Wreg)

Проведем анализ замкнутой системы:

>> step(Wz)

По переходной характеристике замкнутой системы (рис. 7.3) видно, что система оказалась устойчивой и с приемлемым качеством переходных процессов. Недостатками такого подхода в синтезе регулятора является удвоение порядка замкнутой системы с регулятором и трудности при выборе желаемых корней.

Рис. 7.3. Переходная характеристика замкнутой системы с динамическим регулятором