7. Курсовое проектирование

Курсовое проектирование по ОТУ подразумевает законченную процедуру проектирования устройства управления подвижным объектом.

В него входят все составные части реальной разработки системы управления (СУ):

1. разработка блок – схемы системы управления;

2. описание объекта управления (ОУ);

3. определение наблюдаемых и управляемых переменных;

4. создание математической модели ОУ;

5. построение математической модели системы;

6. анализ характеристик СУ;

7. синтез корректирующих устройств.

1. Разработка блок–схемы системы управления

В этом разделе формулируется проблема, которую должна решить система автоматического управления, определяются входные и выходные переменные ОУ, составляется структурная схема предполагаемой системы управления.

В качестве примера рассмотрим задачу обеспечения вертикальной устойчивости велосипеда. Подобные объекты принадлежат к классу неустойчивых объектов, получившему название "перевернутый маятник".

Чтобы удержать велосипед в вертикальном положении, велосипедист поворачивает руль в направлении падения. Примем руль за управляющую (входную) переменную. Выходной переменной будет угол γ отклонения от вертикальной плоскости. Этот угол легко измерить: для этого достаточно, например, на ось потенциометра повесить грузик, а ось расположить горизонтально. Получилось звено обратной связи. Чтобы поворачивать руль, закрепим на нем шестеренку, сцепленную с шестерней, сидящей на валу электродвигателя постоянного тока. Сам электродвигатель закрепим на раме – на втулке переднего колеса. Вместе с рулем это будет исполнительный механизм.

Устройством управления в такой системе будет дифференциальный усилитель, на прямой вход которого подается сигнал задающего устройства (велосипедиста), а на инверсный – напряжение потенциометра обратной связи. Тогда усилитель одновременно будет выполнять функцию устройства сравнения. Но для управления неустойчивым объектом этого мало: в замкнутом состоянии такая система останется неустойчивой. Поэтому главной задачей курсового проекта является синтез корректирующего устройства, способного обеспечить заданное качество управления. Для решения этой задачи необходимо получить математическую модель всех блоков системы и провести анализ ее динамических характеристик. Разработанная блок-схема приведена на рис. 7.1.

Рис. 7.1 Блок – схема системы стабилизации вертикального положения велосипеда

2. Составление математической модели ОУ

Для построения математической модели динамических звеньев используются дифференциальные уравнения, получаемые на основе физических законов механики, термодинамики, оптики.

Примеры составления таких дифференциальных уравнений можно найти, например, в рекомендованной литературе. Как правило, это классические объекты автоматического управления: ракета, самолет, спутник, торпеда. Здесь мы рассмотрим более простой и знакомый пример- велосипед.

Математическая модель системы "велосипед + велосипедист"

При смещении центра тяжести велосипедиста относительно вертикальной оси возникает крутящий момент, приводящий к падению:

,

где – расстояние от центра масс до точки касания с землей;

–угол наклона (рис. 7.2); – масса велосипеда;– ускорение свободного падения.

Препятствовать падению велосипедист может поворотом руля в сторону падения. Естественно, при этом меняется и направление движения (рис. 7.3, вид сверху).

Так как направления движения обоих колес не совпадают, каждое из колес должно двигаться по траекториям, касательные к которым в точках контакта с землей совпадают с плоскостью колеса. Поскольку такое несогласованное движение невозможно, поворот переднего колеса вызовет поворот рамы и с нею – поворот заднего. Заднее колесо при этом получает боковое проскальзывание, что можно наблюдать по фонтану брызг при повороте на луже. Это же является причиной заноса автомобиля, поворачивающего на большой скорости.

Врезультате траекторией движения обеих колес будет окружность с одним и тем же центром, но с разными радиусами: у переднего колеса радиус поворота (R1) больше, чем у заднего (R2).

Если расстояние между точками касания колес с землею обозначить L, то. Вращение приведет к появлению центробежной силы, приложенной к центру тяжести.

Рис. 7.3. Велосипед, вид сверху

Положение центра тяжести зависит от наклона тела велосипедиста. Для варианта «мастер» эта точка близка к середине расстояния между точками касания с землей, для варианта «чайник» центр тяжести (точнее, его проекция на горизонтальную плоскость) практически совпадает с точкой касания земли вторым колесом. Вернемся теперь в вертикальную плоскость и определим радиус вращения центра тяжести велосипедиста. При малых углах наклона: . Возникающая при таком вращении центробежная сила. Теперь уравнение движения будет иметь вид:

. (7.1)

Согласно рис. 7.1, выходная величина ОУ – угол наклона велосипеда , входная – угол поворота руля. Разделить переменные в несепарабельном уравнении можно, если воспользоваться первыми членами разложения в ряд Тейлора:

. (7.2)

Положив в уравнении (7.1) , , , имеем:

Вычтем из последнего уравнения уравнение статики:

.

Теперь уравнение движения можно записать в операторной форме, перенеся выходные переменные в левую часть уравнения:

;

;

, (7.3)

где:

; .

Зададим параметры:

,

тогда .

Минус в знаменателе свидетельствует о наличии правых корней его характеристического полинома. А это значит, что переходный процесс будет колебательный и расходящийся.

Передаточная функция разомкнутой системы управления

Итак, получив передаточную функцию объекта управления

,

зададим передаточные функции остальных звеньев системы.

Электродвигатель с редуктором.

При батарейном питании выбираем двигатель постоянного тока. Его динамика определяется двумя постоянными времени: электромеханической постоянной, зависящей от момента инерции якоря , и электромагнитной постоянной времени, зависящей от индуктивности ротора. Еслииотличаются меньше, чем на порядок, их совместное действие описывается типовым колебательным звеном:

,

где:

–статический коэффициент преобразования входного напряжения в скорость вращения; вместе с редуктором примем ;

–постоянная времени двигателя, реальная величина меньше постоянной времени велосипеда на два порядка. Чтобы почувствовать влияние двигателя, примем;

- коэффициент затухания, обычно .

Если выходной величиной считать не скорость вращения двигателя, а угол его поворота, в передаточную функцию следует добавить оператор интегрирования . Часто функцию интегрирования отводят редуктору. Тогда

.

Усилитель.

В статической системе коэффициент усиления (всей прямой цепи) выбирается исходя из допустимой ошибки управления. Если ошибку управления представить в виде ряда Маклорена:(– входное воздействие), то для статической системы коэффициенты ошибки могут быть получены из передаточной функцииразомкнутой системы:

–коэффициент статической ошибки;

–коэффициент ошибки по скорости, и – коэффициенты числителя и знаменателяпри.

Тогда в статической системе ошибка управления в статике: .

Для систем с интегратором (астатических) ошибка в статике равна нулю при любом коэффициенте усиления. Однако коэффициент ошибки по скорости . Если принять максимальную начальную скорость падения велосипедиста равной 1 рад/с, для обеспечения максимального отклонения от вертикали наградуса получим:

, .

Окончательно передаточная функция разомкнутой системы:

.

3. Анализ динамических свойств исходной системы

В окне команд МАТЛАБа создадим модель нашей системы:

>> w1=tf([30],[1,0]); % интегратор

>> w2=tf([1],[0.1,0,-1]); % велосипед

>> w3=tf([1],[0.0009,0.048,1]); % электродвигатель

>> WR=w1*w2*w3; %передаточная функция разомкнутой системы - %последовательное соединение звеньев

>> WZ=feedback(WR,1);% передаточная функция замкнутой системы

По созданной модели проведем анализ поведения корней, временных и частотных характеристик (рис. 7.4).

figure(1)

>> pzmap(WZ)

Эта команда позволяет увидеть положение корней замкнутой системы при K=30. Для оценки поведения системы при других коэффициентах усиления удобнее использовать корневой годограф (рис. 7.5). Он показывает изменение положения корней (траекторию их движения) при увеличении коэффициента усиления (петлевого усиления).

>> rlocus(WZ) % построить годограф

По корневому годографу видно, что обратная связь не может обеспечить устойчивость системы - пара правых корней при увеличении коэффициента усиления смещается еще правее.

Реакцию системы на единичный скачок (рис. 7.6) можно инициировать командой

>>step(WZ)

Наконец, получить логарифмические частотные характеристики (рис. 7.7) можно командой

>>bode(WR)

Характеристика строится для разомкнутой системы!

Обратите внимание на фазовую характеристику: ее поворот более чем на 180 градусов и привел к неустойчивости системы.

Рис. 7.7. ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы

Рассмотрим эти характеристики с позиции критерия Найквиста. Физический смысл этого критерия каждый из вас познал еще в тот день, когда самостоятельно научился раскачиваться на качелях. Чтобы раскачать качели, надо толкать их "в фазе" с их собственной частотой – это положительная обратная связь (ПОС). Чтобы затормозить колебания, надо толкать в противофазе – ООС. Наконец, если при раскачивании вы прикладываете ровно столько усилия, сколько потерялось на трение и сопротивление воздуха, коэффициент передачи в вашем замкнутом контуре равен единице и амплитуда колебаний не затухает – вы создали автоколебательный режим:.Это граница устойчивости. Увлеклись, заигрались, сделали, можете и перевернуться – это расходящиеся колебания в неустойчивой системе.

Критерий Найквиста по умолчанию подразумевает, что система замкнута не ПОС, а ООС: наша задача не раскачать качели , а затормозить, застабилизировать систему. Поэтому при замыкании системы мы перевернули фазу на 180⁰, и границей устойчивости стало условие:

, .

Другими словами, если в звеньях системы есть запаздывание, на некоторой частоте оно может привести к сдвигу на , и ООС превратиться в ПОС! Если на этой частоте, в системе появятся расходящиеся автоколебания. Это и есть критерий Найквиста в формулировке, ориентированной на логарифмические частотные характеристики:чтобы система была устойчива в замкнутом состоянии, необходимо, чтобы фазовая частотная характеристика пересекала уровень –π правее частоты .

Это упрощенная формулировка, удобная для запоминания. Настоящий критерий устойчивости распространяется и на случаи замыкания систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии:

Для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разность между положительными и отрицательными переходами фазовой частотной характеристики прямой ,на частотах, когда, была равна, где– число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Рис. 7.8иллюстрирует этот критерий для системы, имеющей два правых корня в разомкнутом состоянии. Отрицательным считается переход уровня сверху вниз, положительным – снизу вверх.