2. Вычисление двойных интегралов.

Для того чтобы вычислить двойной интеграл, его необходимо свести к так называемымповторным интегралам. Сделать это можно двумя способами. Наиболее распространён следующий способ:

Вместо знаков вопроса необходимо расставить пределы интегрирования. Причём одиночные знаки вопроса   у внешнего интеграла – это числа, а двойные знаки вопроса   у внутреннего интеграла – это функции одной переменной  , зависящие от «икс».

Пример

Найти двойной интеграл от  по множеству D, где D - область между  и  .

Решение

Пределы интегрирования определены как   и 4. Область D лежит в пределах от x = -2 слева до x = 2 справа по оси абсцисс:

Проинтегрируем:

3. Тройные интегралы и их вычисление.

Рис.1

Тройной интеграл от функции f (x,y,z) в параллелепипеде   определяется как предел суммы Римана, при котором максимальное значение приращений Δx_i, Δy_j и Δz_k стремятся к нулю:

Основные свойства тройного интеграла

Пусть функции f (x,y,z) и g (x,y,z) интегрируемы в области U. Тогда справедливы следующие свойства:

, где k - константа;

Если   в любой точке области U, то  ;

Если область U является объединением двух непересекающихся областей U₁ и U₂, то ;

Пусть m - наименьшее и M - наибольшее значение непрерывной функции f (x,y,z) в области U. Тогда для тройного интеграла справедлива оценка:

где V - объем области интегрирования U.

Теорема о среднем значении тройного интеграла. Если функция f (x,y,z) непрерывна в области U, то существует точка M₀   U, такая, что

где V - объем области U. Пример 1 Оценить максимальное значение тройного интеграла        где U представляет собой шар с центром в начале координат и радиусом R = 6. Решение. Уравнение шара имеет вид        Используя свойство 6, можно записать        где объем шара V равен        Максимальное значение M подынтегральной функции равно        Отсюда получаем верхнюю оценку тройного интеграла:

Пример 2 Оценить максимальное и минимальное значение тройного интеграла        где область U является параллелепипедом:        Решение. Сначала вычислим объем области интегрирования U:        Оценка интеграла выглядит как        Здесь минимальное значение m подынтегральной функции равно        Соответственно, максимальное значение M составляет        Таким образом, оценка интеграла имеет вид

4. Замена переменных в двойных и тройных интегралах.

Для вычисления двойного интеграла   иногда удобнее перейти в другую систему координат.  Замена переменных в двойном интеграле описывается формулой

где выражение   представляет собой так называемый якобиан преобразования  , а S − образ области интегрирования R, который можно найти с помощью подстановки   в определение области R. Отметим, что в приведенной выше формуле  означает абсолютное значение соответствующего определителя.  Предполагая, что преобразование координат   является взаимно-однозначным, обратное соотношение описывается якобианом

при условии, что знаменатель нигде не равен 0.  Итак, замена переменных в двойном интеграле производится с помощью следующих трех шагов:

1. Найти образ S в новой системе координат   для исходной области интегрирования R;

2. Вычислить якобиан преобразования   и записать дифференциал в новых переменных ;

3. Заменить в подынтегральном выражении исходные переменные x и y, выполнив, соответственно, подстановки   и  .

При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U:

Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах u, v, w. Взаимосвязь старых и новых координат описывается соотношениями:

Предполагается, что выполнены следующие условия:

1. Функции φ, ψ, χ непрерывны вместе со своими частными производными;

2. Существует взаимно-однозначное соответствие между точками области интегрирования U в пространстве xyz и точками области U' в пространстве uvw;

3. Якобиан преобразования I (u,v,w), равный

отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования U.

Тогда формула замены переменных в тройном интеграле записывается в виде:

В приведенном выражении   означает абсолютное значение якобиана.