Производные функций, заданных неявно и параметрически.
Во многих задачах функция y(x) задана неявным образом. Например, для приведенных ниже функций
невозможно получить зависимость y(x) в явном виде. Алгоритм вычисления производной y'(x) от неявной функции выглядит следующим образом:
Сначала необходимо продифференцировать обе части уравнения по отношению к x, предполагая, что y - это дифференцируемая функция x и используя правило вычисления производной от сложной функции;
Решить полученное уравнение относительно производной y'(x).
Пример:
Вычислить
производную функции y(x), заданной
уравнением 
Решение.
Дифференцируем обе части уравнения по x (левую часть дифференцируем как сложную функцию):
Вывод формулы производной параметрически заданной функции.
Пусть 
определены
и дифференцируемы при 
,
причем 
и 
имеет
обратную функцию 
.
Сначала
переходим от параметрического задания
к явному. При этом получаем сложную
функцию 
,
аргументом которой является x.
По правилу
нахождения производной сложной
функции имеем: 
.
Так как
и
обратные
функции, то по формуле
производной обратной функции 
,
поэтому 
.
Дифференцируемость и дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.
Если функция y = f(x) имеет производную в точке x = x0, то функция дифференцируема в этой точке.
Дифференциалом функции y = f(x) называется главная линейная относительно x часть приращения y, равная произведению производной на приращение независимой переменной.
dy = f'(x)dx.
Геометрический
смысл диффиренциала: дифференциал
функции есть приращение ординаты
касательной, проведенной к графику
функции y = f(x) в данной точке, когда x
получает приращение x.
Основные теоремы дифференциального исчисления: теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.
Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b) , f(a) = f(b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка c, такая, что f(c) = 0.
Теорема Лагранжа. Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка , такая, что
f'() = (f(b)-f(a))/(b-a). |
Теорема Коши
Пусть функции y = f(x), y = g(x) непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале (a, b), причем g'(x) ≠ 0 на (a, b).
Тогда
существует число c
(a,b) такое,
что 
Правило Лопиталя.
Если 
,
и если функции f(x) и g(x) –
дифференцируемы в окрестности точки 
,
то 
В случае, когда неопределенность не исчезает после применения правила Лопиталя, то его можно применять вновь.
Тема 2. Исследование функций с помощью производных.
Условие возрастания и убывания функций. Признак монотонности функции.
Функция f(x) называется возрастающей на промежутке D , если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f(x 1)<f(x2).
Функция f(x) называется убывающей на промежутке D , если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f(x 1)>f(x2).
Для того, чтобы дифференц. на интервале (а, b) функция y=f(x) возрастала (убывала) на этом интервале достаточно, чтобы производная f’(x)>0 ∀x ∈(а, b) и f’(x)<0 ∀x ∈(а, b)
Точки экстремума функции одной переменной.
Точка Xo называется точкой локального экстремума функции f(x), если значение f(Xo) является наибольшим/наименьшим значением функции f(x) в некоторой σ-окрестности т. Xo. При этом, само значение f(Xo) называется локальным экстремумом функции y=f(x)
Если f(Xo)> f(x) ∀x ∈ σ-окрестности – max
Если f(Xo)< f(x) ∀x ∈ σ-окрестности – min
Необходимое условие экстремума функции одной переменной.
Если функция y=f(x) имеет экстремум в т. X=Xo, то производная функции в этой точке либо равна нулю, либо не существует.
Первое достаточное условие экстремума функции одной переменной.
Пусть функция y=f(x) непрерывна в окрестности точки Xo и имеет в ней производную за исключением, быть может, самой точки.
Если при
X<Xo: f’(x)>0
X>Xo: f’(x)<0
Тогда т. Xo является точкой локального max.
Если при
X<Xo: f’(x)<0
X>Xo: f’(x)>0
Тогда т. Xo является точкой локального min.
Второе и третье достаточные условия экстремума функций одной переменной.
Второе. Пусть f’(Xo)=0 , а f’’(Xo)≠0, тогда
Если f’’(Xo)>0, то точка Xo – точка локального min
Если f’’(Xo)<0, то точка Xo – точка локального max
Третье. Если f’(Xo)= f’’(Xo)=…= f(k-1) (Xo)=0, а f(k)(Xo) ≠0, тогда
Если k=2(четное) и f(k)(Xo)>0, то точка Xo – точка локального min
Если k=2(четное) и f(k)(Xo)<0, то точка Xo – точка локального max
Если k=3(нечетное), то экстремумов нет.