12. Формула (к.Ито) стохастического дифференцирования.

ОПР: Пусть для процесса , п.н. приращение процесса может быть представленно в виде: , где

- интегрируемая случайная функция, t - измеримая

- согласованная с потоком (квадрат интегрируем)

Тогда говорят - у процесса  стохастический дифференциал:

Лемма Ито: Пусть - дважды непрерывно-дифференцируемая функция,

Тогда

Что означает, что для :

13. Теорема о существовании и единственности решений стохастического дифференциального уравнения.

Теорема (о  и  решения стохастических уравнений)

Пусть коэффициенты а и  удовлетворяют:

1. для , : удовлетворяют условию Липшица с показателем 1

2. выполняется условие на не более, чем линейный рост:

Начальные условия:

1) - не зависит от приращения броуновского движения вперед: ,

2)

Тогда у уравнения  с вер-тью 1 непрерывное решение :

и решение с такими свойствами единственно.

14. Переходная вероятность марковского процесса. Выражение конечномерных распределений через переходную вероятность.

ОПР: пусть - случайный процесс,

- поток -алгебры, порожденный процессом на интервале [s,t]

пусть , АB :

Тогда - называется марковским процессом.

ОПР: пусть  неслучайная функция 3-х веществ-ных аргументов : и АB

(*)

то функция Р называется переходной вероятностью марковского процесса.

Уравнение Чепмена-Колмогорова: для  трех моментов времени

Речь идет о вероятности перехода из точки x (в момент времени s) во множество А (в момент времени t). В любой момент времени v разбиваем ось на малые интервалы. Вероятность попасть в [y, y + dy] умножаем на вероятность попасть в множество А.

Смысл переходной вероятности в физике: (**)

Если значения процесса дискретны, то это так, но у нас непрерывный процесс.

УТВ: если функция - непрерывна по x, то (*)  (**):

Нач. распределения и двукратные переходные вер-ти полностью опред-ют марк. процесс.

Пусть , и нач. распред-я заданы в () : - ф.р.   B

15. Определение диффузионного процесса. Достаточные условия диффузионности.

ОПР (Колмогоров): марковский процесс , называется диффузионным, если его переходная вероятность (непрерывно по x) удовлетворяет условиям, s  t:

1)   0

2)   0, функция a(s, x) - коэффициент сноса

3)   0, функция b(s, x) - коэффициент диф.

Достаточные условия диффузионности:

1)  0 : - вер.эквивалент:

2)  a(s, x) : - вер. эквивалент аналогично

3)  b(s, x) : - вер. эквивалент аналогично

Лемма (обобщенная лемма Фубини):

- ограниченная измеримая случайная функция, измеримая отн-но B  F, x ,

и пусть как процесс не зависит от -алгебры АF:

т.е. праобразы любого момента времени не зависят от -алгебры А и пусть СВ  - А-измерима

Тогда п.н. (т.е. кроме множества меры 0) , где