3. Теорема (а.Н.Колмогорова) (б.Док-ва) о непрерывности траекторий.

ОПР: говорят, что процесс (t), t  T – стохастически непрерывен в () , если

по вероятности при

Напоминание: сходимость по вероятности: , ,

ОПР: процесс (t), t  T – стохастически непрерывен, если он стох. непрерывен в ()  T

ОПР: процесс (t), t  T – непрерывен, если все его траектории непрерывны с вероятностью 1.

Теорема (Колмогорова о непрерывности процесса):

Пусть для процесса (t), t  [a,b] выполняется условие Колмогорова:

 const ,,   : s < t, где s,t  [a,b] верно

Тогда у (t)  непрерывная модификация , траектории которой обладают свойством:

s < t выполняется , , - случайная const

Пример: свойство траекторий броуновского движения – они непрерывны, но нигде не дифференцируются.

4. Случайные моменты остановки.

- возрастающий поток -алгебр, t  T

ОПР: СВ  называется моментом остановки относительно , если t событие

Свойства:

1.  = const – есть момент остановки, т.к. событие

2.  - момент остановки, const     + - момент остановки

3. ,  - моменты остановки  max{, }     - момент остановки

4. ,  - моменты остановки  min{, }     - момент остановки

ОПР: Пусть  - момент остановки, а - поток, определяющий этот момент, тогда определим совокупность множеств: - -алгебра, порожденная процессом до 

Рассмотрим свойства моментов остановки, связанные с заданной -алгеброй:

5.   - измеримо

6. ,  - моменты остановки относительно и    

7. (k), k = 1,2,… - последовательность СВ (СП с дискретным временем)

- поток -алгебр, порожденный последовательностью (k)

 - момент остановки относительно этого потока

Тогда последовательность () - - измерима

5. Теорема (Дуба) о преобразовании свободного выбора.

Рассматрим теорию мартингалов с дискретным временем.

ОПР: последовательность - супермартингал, т.е.: k  n (1)

Применим мат. ожидание к неравенству (1) и получим: (2)

Супермартингальное неравенство: k  n, : (3) – при этом (1)  (3)

Теорема (Т.Дуба о преобразовании свободного выбора)

Последовательность , k = 1,2,…,n – супермартингал относительно потока -алгебр

, , - моменты остановки (упорядоченные) отн-но

Тогда последовательность , - супермартингал относительно потока -алгебр

6. Неравенство (Дуба) для субмартингалов.

Теорема (Т.Дуба для субмартингалов)

, k = 1,2,…,n – неотрицательный субмартингал относительно потока -алгебр тогда

t   выполняется

Следствие:

, k = 1,2,…,n – мартингал относительно потока -алгебр тогда

р  1, t   выполняется

7. Разложение (Дуба) для субмартингалов. Квадратичная характеристика мартингала.

А этот билет находится в конспекте – после параграфа о тождествах Вальда.

ОПР: процесс , n = 1,2,… называется предсказуемым относительно потока -алгебр ,

если n измерим относительно , = 0

Теорема (разложение Дуба):

Пусть - субмартингал относительно потока .

Тогда  - мартингал относительно , и возрастающий предсказуемый процесс

относительно этого потока, такие, что

= + п.н.

и такое представление единственно.

ОПР: Пусть - мартингал и  , n тогда - наз-т квадратично-интегрируемым.

По теореме Дуба о разложении, такой мартингал можно представить в виде: ,

где - мартингал отн-но , а - возрастающий предсказуемый процесс. Для квадратично-интегрируемого мартингала этот процесс называется компенсатором.

УТВ: Компенсатор =

(сумма условных квадратичных приращений (вариаций) по непересекающимся интервалам)