2.1.4 Приклади застосування формули Стокса для знаходження циркуляції Задача 1.

Обчислити циркуляцію вектора по кривій

Г:

Перше рівняння системи задає круговий циліндр радіуса 2, твірною якого є вісь Оz. Лінія Г являє собою окружність, що є перетином циліндра і площини перпендикулярноaї до осі циліндра (див. рис.8.).

Рис.8. Схема до задачі 1.

Знайдемо ротор і нормаль:

rot , .

Перевірка:

div rot

За формулою Стокса інтеграл по окружності перетворюється в інтеграл по колу

С= ,

де D проекція s в площину xOy (див. рис.8.). Для знаходження подвійного інтегралу по області Dперейдемо до полярних координат:

, , .

Рівняння окружності має вигляд =2, тому маємо:

Знайдемо внутрішній інтеграл:

Підставляючи цей результат у зовнішній інтеграл, отримуємо:

Знаходження подвійного інтеграла можна було спростити, якби розбити його на 2 доданки:

Перший інтеграл дорівнює 0, оскільки функція непарна по х, а область D симетрична щодо осі Оу (інтеграл по лівій частині скорочується з інтегралом по правій частині). Другий інтеграл дорівнює площі області інтегрування, тобто кола.

Задача 2.

Знайти циркуляцію вектора по границі області, обмеженої лініями

х=0, y=0.

Контур інтегрування складається з дуги кола і двох відрізків (див. рис.9.).

Рис.9. Схема до задачі 2.

Застосуємо формулу Стокса:

rot , ,

Тут враховано, що інтеграл від одиниці дорівнює площі поверхні інтегрування, в даному випадку - чверті кола радіуса 3.

Задача 3.

Обчислити циркуляцію вектора по контуру трикутника NPM: M(2;0;0), N(0;3;0), P(0;0;1).

Розв’язання:

Точки M, N I P лежать на координатних осях, відсікаючи на них відрізки, відповідно, 2, 3 і 1 (див. рис.10.).

Рис.10. Схема до задачі 5.

Для запису рівняння площини MNP зручно використовувати рівняння площини у відрізках:

Домноживши обидві частини рівняння на 6, отримаємо: 3х+2у+6z-6=0.

Знайдемо ротор і застосуємо формулу Стокса:

Додатна нормаль створює гострі кути зі всіма координатними осями, зведемо поверхневий інтеграл другого роду до трьох подвійних:

Враховуючи властивості подвійного інтегралу, а саме, що інтеграл від одиниці дорівнює площі поверхні інтегрування, маємо, що подвійні інтеграли дорівнюють площам відповідних трикутників .

ВИСНОВОК

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ:

1. Зорич В.А. Математический анализ часть II.- М.: ФАЗИС; Наука; Ч.II. - 1984, 640с.

2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа том 2. - М.: Дрофа, 2004. - 720 с.

3. Будак Б.М. Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. - М.: Наука, 1965.

4. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. - М.: ГИТТЛ, 1953.

5. Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла.- К.: Высшая шк. Головное изд-во, 1989.- 152с., 2 ил.- Библиогр.: 16 назв.

6. Грауэрт Г., Либ И., Фишер В. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.: Изд-во «Мир», 1971.

7. Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе, М., «Мир», 1967.

8. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления (2 тома), М., 1967.

9. Смирнов В. И. Курс высшей математики (5 томов).

10. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (3 тома), М., 1960.

11. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы.-М.: Мир, 1971.

12. Рудин У. Основы математического анализа. – М.: Мир, 1976.

13. Шилов Г.Е. Математический анализ, специальный курс, 2-е изд. – М.:1961.

14. Спивак М. Математический анализ на многообразиях. – М.: Мир, 1968.

15. Шварц Л. Анализ. Том 2. - М: Мир, 1972.

16. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.

17. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. – М.: 2004

18. Винберг Э.Б. Курс алгебры. 2-е изд., испр. и доп. – М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2001. – 544 с.

19. Булдырев В. С., Павлов Б. С. Линейная алгебра и функции многих переменных. — Л.: Издательство Ленинградского университете, 1985.

20. В. И. Арнольд. Математические методы классической механики. — 3-е изд. — М.: Наука, 1989. — 472 с

21. Болибрух А. А. Уравнения Максвелла и дифференциальные формы. – М.: МЦНМО, 2002.

22. Аграчев А.А., Сачков Ю.Л. Геометрическая теория управления. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

23. Петрова Л. И. Кососимметричные дифференциальные формы. Законы сохранения. Основы теории поля. М.: Ленанд, 2006.

24. Ботт Р, Ту Л.В. Дифференциальные формы в алгебраичской топологии. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. 336 с