ЗМІСТ

ВСТУП ……………………………………………………………………

РОЗДІЛ 1. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА…………………………………

1. Загальне означення алгебри…………………………………………

2. Грасманові добутки векторного простору…………………………..

3. Зовнішні диференціальні форми…………………………………….

4. Диференційовані відображення………………………………………

5. Диференціальні форми на допустимих множинах…………………

6. Приклади і правила дій………………………………………………

РОЗДІЛ 2. ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА………………………………….

2.1 Формула Стокса………………………………………………………

ВИСНОВОК………………………………………………………………

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ………………………..

ВСТУП

Актуальність обраної проблеми. В багатьох математичних і фізичних додатках теорії інтегрування недостатньо інтегрувати функції по всьому простору або по його вимірним підмножинам; необхідно знаходити інтеграли вздовж шляхів (криволінійні інтеграли) і по частинам поверхонь. Так, наприклад, щоб обрахувати роботу при русі точки в силовому полі, необхідно «просумувати силу вздовж лінії», тобто розглянути деякий криволінійний інтеграл вздовж пройденого цією точкою шляху. Подібним чином, кількість електроенергії, що протікає через криву поверхню, виражається поверхневим інтегралом і т. д. Спроба звести ці фізичні і аналогічні математичні питання в систему понять, якими можна було б легко оперувати, приводить до визначення поняття зовнішньої (або альтернованої) диференціальної форми. Об’єкти, які ми інтегруємо по р-вимірній частині поверхні в Rⁿ, є диференціальними формами порядку р, а не функціями. Векторний аналіз з його бачаточисленними диференціальними операторами (grad f, rot a, div a) і інтегральними формулами є навряд чи доцільним, але часто дуже заплутаним перекладом обчислення зовнішніх диференціальних форм.

Отже, мета роботи: введення та опис поняття диференціальної форми, основних операцій над ними; показ доцільності використання диференціальних форм в задачах, що зводяться до обчислення інтегралів від функції багатьох змінних та обчислення параметрів векторних полів, ілюстрація переваги використання алгебри диференціальних форм перед методами векторного аналізу.

Завдання:

1. Описати основні об’єкти векторного аналізу

2. Описати алгебру диференціальних форм

3. Встановити зв’язок між ними

Розділ 1. Теоретична частина

1.1 Загальне означення алгебри

Алгебра (від арабського «аль-джебр», частина назви трактату «Китаб аль-джебр валь-мукабала» («Повна книга обчислень шляхом доповнення і рівноваги») узбецького математика і астронома Аль-Хорезмі) – 1) розділ математики, що вивчає властивості дій над різноманітними величинами і розв’язки рівнянь, пов’язаних з цими діями; 2) розділ математики, що вивчає системи об’єктів довільної природи, в яких визначено алгебраїчні операції, аналогічні своїми властивостями діям над числами.

Види алгебр: асоціативна, лінійна, алгебра многочленів, функцій, векторний добуток, як векторна алгебра і т. д..

Кільце́ —це алгебраїчна структура, в якій визначені операції додавання та множення з властивостями подібними до додавання і множення цілих чисел.

Кільце R — це множина з двома бінарними операціями , що звичайно позначаються "+" та " " і називаються додаванням та множенням, яка задовільняє наступній системі аксіом:

• (R,+) є комутативною групою. Її називають адитивною групою кільця і нейтральний елемент в ній позначають як 0 (нуль);

• (дистрибутивність додавання щодо множення);

• (асоціативність множення);

• в існує нейтральний елемент 1 (одиниця), що задовільняє:

Деякі автори не вимагають наявності одиниці, і натомість називають кільця з одиницею унітарними кільцями або кільцями з одиницею.

Розглядаються також кільця, у яких не задовільняється асоціативність множення, наприклад, кільця (або алгебри) Лі. У такому разі, кільця, в яких множення асоціативне, називають асоціативними кільцями.

Кільця, що задовольняють вимогу комутативності множення називають комутативними кільцями. Не всі кільця є комутативними, наприклад, кільце матриць чи кватерніонів.

Символ зазвичай не пишуть, використовуючи стандартні правила порядку операцій, тому, наприклад, a=bc є скороченим записом .

Якщо для двох елементів кільця a та b виконується рівність ab=ba=1 то кажуть, що b є оберненим елементом до відносно множення. В цьому випадку елемент b однозначно визначається елементом a і позначається (звичайно, маємо також, що ).

Якщо в кільці немає дільників нуля, відмінних від самого нуля, тобто якщо з ab=0 витікає, що або a=0, або b=0, то кажуть про кільце без дільників нуля. Якщо до того ж кільце є комутативним, то його називають цілісним.

1.2 Грасманові добутки векторного простору

Літерою Т ми будемо позначати деякий дійсний векторний простір, а символом Т* — простір, спряжений з Т, тобто векторний простір лінійних форм в просторі Т. Символом Т^р ми будемо позначати р-кратний декартовий добуток простору Т на себе, тобто множину всіх р-наборів , елементів простору Т.

Означення 1.1. Р-лінійною формою (де р 1) в просторі Т називається відображення

,

що має сідуючі властивості:

1. для кожного , що задовольняє умову ,

2. при і

0-лінійною формою називається дійсне число.

Таким чином, р-лінійна форма є функція від р векторів, лінійна відносно кожної окремої змінної; 1-лінійні форми просто являються елементами спряженого простору Т*. Точно так , як і у випадку 1-лінійних форм, можна показати, що р-лінійні форми створюють дійсний векторний простір. Число р називається порядком форми , а називається полілінійною формою порядку р.

Іноді вимагаються більш загальні поняття:

Означення 1.2. (р, q)-лінійною формою в просторі Т (де р і q 1) називається відоброження

лінійне відносно кожної окремої змінної; р-форми в просторі Т називають також (р, 0)-лінійними формами, а q-форми в просторі Т* називаються (0, q)-лінійними формами в просторі Т.

Таким чином, при а, і маємо

Векторний простір, створений (р,q)-формами, ми будемо позначати символом .

В подальшому нам будуть майже всюди зустрічатися р-форми.

Означення 1.3. р-лінійна форма називається зовнішньою р-формою, якщо для кожного , що задовольняє умову

Кожна 1-лінійна форма (при р=1) є зовнішньою. Зовнішніми 0-формами ми за означенням вважаємо дійсні числа. Замість «зовнішня» часто говорять «альтернована» або «кососиметрична»; всі ці терміни означають одне і теж.

Теорема 1.1. Для кожного р зовнішні р-форми створюють дійсний векторний простір Е^р, що називається р-кратним грасмановим добутком над простором Т. При цьому і .

Насправді, разом з формами і і форма є зовнішньою; якщо і , то .

З означення випливає, що:

1. Якщо і , то

2. Якщо при , то

Щоб встановити подальші властивості зовнішніх р-форм, ми введемо символ Кронекера.

Означення 1.4. Для будь-яких двох натуральних чисел i покладемо:

Якщо і — який-небудь р-набір натуральних чисел, то покладемо

Функція називається символом Кронекера. Крім того, для кожного натурального числа і покладемо

Таким чином, символ Кронекера приймає тільки значення -1, 0 або +1. Очевидно, = 0 в тому випадку, якщо два різних аргумента, наприклад і при , співпадають. Справедлива така властивість

Властивість 1.

З цієї властивості випливає проста інтерпритація символа Кронекера. Тобто, якщо серед чисел , які ми вважаємо попарно різними, будемо створювати транспозиції до тих пір, поки числа не будуть записаними в природньому порядку, наприклад , то при кожній окремій транспозиції знак символа зміниться. Якщо а — число всіх проведених транспозицій, то

і, значить, оскільки 1, .

Р-набором ( ) визначається не саме число а, але, як показує це припущення, число , тобто «парність» числа а.

Символ Кронекера слугує для того, щоб «альтернувати» довільну р-лінійну форму. Як відомо, множину з р об’єктів можна упорядковувати рівно р! різними способами. Таким чином, кожному р-набору векторів можна, міняючи місцями вектори , поставити в відповідність р! елементів . Розуміється, всі ці елементи відрізняються один від одного лише в тому випадку, якщо при .

Означення 1.5. Нехай — деяка р-лінійна форма. Під альтернованою частиною форми ми розуміємо р-лінійну форму [ ], що означається формулою

Якщо р=0, то ми покладаємо [ ]= .

Наприклад, при р=2

де і

У випадку р=1, природньо [ ]= . Те, що форма [ ] є р-лінійною, легко перевіряється. Далі, має місце

Тведрження 2. Якщо — зовнішня р-форма, то =[ ].

Твердження 3. Форма [ ] являється кососиметричною.

Твердження 4. [[ ]] = [ ].

Має місце тривіальне твердження.

Твердження 5. Якщо і — дві р-лінійні форми, то Для кожного має місце рівність .

Тепер ми визначимо добуток полілінійих форм. Нехай — деяка р-лінійна форма, а — деяка q-линейная форма. Покладемо

де і — вектори з Т. Ця формула визначає (р+q)-лінійне відображення

яке ми будемо називати добутком форм і . Відразу перевіряємо слідуючі правила:

1. 

2. 

3. 

4. де .

Твердження 6. .

Означення 1.6 Нехай — зовнішня р-форма и — зовнішня q-форма. Зовнішнім добутком форм і називається форма

.

Таким чином, є зовнішньою (р+q)-формою. Зовнішній добуток не є добутком в Е^р, бо при р>0 добуток двох р-форм не лежить в Е^р. Зовнішній добуток відображає декартовий добуток в просторі .

Теорема 1.2. а) де , ;

б) де , ;

в) де , ;

г) де , , .

Як видно вже з тривіальних прикладів, зовнішній добуток не комутативний. Що виникає при перестановці співмножників, найлегше всього вияснити, скориставшись базисом простору Т.