
- •Часть 2
- •Оглавление
- •Лекция № 1. Перемещения при изгибе. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. Расчет балок на жесткость.
- •1.1. Перемещения при изгибе
- •1.2. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
- •1.3. Расчет балок на жесткость
- •Лекция № 2. Понятие устойчивости, устойчивые и неустойчивые формы равновесия. Определение критической силы. Формула эйлера.
- •2.1. Устойчивые и неустойчивые формы равновесия. Понятие критической силы
- •2.2 Определение критической силы. Формула эйлера
- •2.3 Пределы применимости формулы эйлера. Полная диаграмма критических напряжений
- •2.4. Порядок расчета центрально сжатых стержней на устойчивость
- •Подбор поперечного сечения центрально сжатых стрежней на устойчивость ведут методом последовательных приближений в следующей последовательности.
- •Лекция № 3. Предмет и задачи строительной механики. Понятие о расчетной схеме сооружения. Классификация расчетных схем. Кинематический анализ сооружения.
- •3.1. Предмет и задачи строительной механики
- •3.2. Понятие о расчетной схеме сооружения
- •3.3. Классификация расчетных схем
- •3.4. Кинематический анализ сооружения
- •3.5. Мгновенно изменяемые системы. Анализ геометрической структуры сооружения
- •Лекция № 4. Общие сведения, классификация ферм. Особенности напряженного состояния стержней ферм. Порядок определения усилий в фермах методом вырезания узлов.
- •4.1. Классификация ферм.
- •4.2. Расчет статически определимых плоских ферм.
- •Способ вырезания узлов
- •Расчет ферм способом рассечения
- •Лекция № 6. Статически определимые рамы
- •6.1. Общие сведения
- •6.2. Статическая определимость и геометрическая неизменяемость рам
- •6.3. Определение опорных реакций и построение эпюр внутренних силовых факторов
- •Лекция № 7. Трехшарнирные системы
- •7.1. Сплошные трехшарнирные арки. Определение опорных реакций.
- •7.2. Определение внутренних усилий в сечениях трехшарнирной арки
- •Изгибающие моменты в сечениях арок
- •Поперечные и продольные силы в сечениях арок
- •Построение эпюр m, q, n в арках.
- •Расчет трехшарнирных арок с затяжками.
- •7.3. Статически определимые комбинированные системы
- •7.4. Висячие системы
- •Лекция № 8. Основы динамики сооружений
- •8.1. Собственные колебания балочных систем с одной степенью свободы
- •8.2. Вынужденные колебания балочных систем с одной степенью свободы
- •8.3. Пример выполнения расчетов при действии динамических нагрузок
2.3 Пределы применимости формулы эйлера. Полная диаграмма критических напряжений
Вывод формулы Эйлера основан на интегрировании дифференциального уравнения упругой линии стержня. Это уравнение справедливо только в пределах линейной зависимости между напряжениями и деформациями, поэтому и формула Эйлера применима только до тех пор, пока критические напряжения, определяемые по этой формуле, не превосходят предела пропорциональности σпц, т. е. при условии
.
Используя
соотношение
, где imin
– наименьший радиус инерции площади
поперечного сечения стержня, можем
записать это условие так:
.
Введем обозначение гибкости стержня:
|
(2.3) |
Безразмерная величина отношения расчетной длины стержня к радиусу инерции площади его поперечного сечения называется гибкостью.
Тогда критические напряжения определятся как
,
где
- предел пропорциональности материала
стержня.
Откуда нетрудно получить величину предельной гибкости, при которой деформации стержня будут упругими:
.
Вводя
обозначение предельной гибкости
,
получаем следующее условие применимости
формулы Эйлера
.
Например, для конструкционной малоуглеродистой стали с σпц=210 МПа и E=2.1·105 МПа формулой Эйлера (2.4) можно пользоваться лишь при гибкости стержня
.
Тщательно
поставленные опыты показали справедливость
формулы Эйлера для стержней большой
гибкости. В то же время эти опыты
подтвердили неприменимость формулы
Эйлера для стержней, гибкость которых
.
Для таких стержней формула Эйлера (2.4)
дает значения критических нагрузок,
превышающие их действительные значения.
Попытки использовать формулу Эйлера
для стержней средней и малой гибкости
приводили иногда к серьезным
катастрофам. Теория устойчивости
стержней за пределом пропорциональности
была развита Карманом, Энгессером,
Шенли, Тетмайером, Ясинским...
Наибольшее распространение получила формула определения критических напряжений, предложенная Ф.С. Ясинским (1895 г.):
|
(2.4) |
В этой формуле λ – гибкость стержня, a и b – коэффициенты, зависящие от свойств материала. Например, для стали 3 при σв=380 МПа и σт=240 МПа формула имеет вид:
(МПа).
По
формуле (2.4)
проводится расчет на устойчивость
стержней средней гибкости, разрушение
которых при сжатии сопровождается
значительным боковым выпучиванием. Для
стержней малой гибкости (λ<λ1)
понятие потери устойчивости неприменимо
в том смысле, в каком применяется для
стержней большой гибкости. Стержни, у
которых длина невелика по отношению к
размерам поперечного сечения, выходят
из строя главным образом из-за того, что
напряжения сжатия в них достигают
предела текучести σт
(при пластичном материале) или предела
прочности σвр
(при хрупком материале). Поэтому для
стержней малой гибкости в качестве
критического напряжения принимается
предел текучести σт
или предел прочности σвр.
Четкой границы между стержнями малой
и средней гибкости провести нельзя. В
расчетах принимают
.
Зависимость критических напряжений σкр от гибкости λ изображается графически в виде полной диаграммы критических напряжений. Такая диаграмма для малоуглеродистой стали представлена на рис. 2.6.
Рис. 2.6.
Для
стержней малой гибкости (
)
зависимость σкр
от λ
выражена горизонтальной прямой, для
стержней средней гибкости (
)
– наклонной прямой в соответствии с
зависимостью Ясинского (2.4),
а для стержней большой гибкости (
)
– гиперболой Эйлера. Если известна
гибкость рассчитываемого стержня, то
критическое напряжение может быть
найдено непосредственно по диаграмме
критических напряжений.