8.2. Вынужденные колебания балочных систем с одной степенью свободы
В случае влияния на систему некоторой возмущающей нагрузки, интенсивностью q(z, t), дифференциальное уравнение движения массы принимает вид:
|
|
.Решение этого уравнения приводит к уравнению движения массы при колебаниях:
|
(8.7) |
,где – переменная интегрирования.
Отсюда
дифференцированием можно найти силу
инерции массы
.
При расчетах очевидно важна такая
инерционная сила, которая совместно со
статической составляющей внешней
нагрузки вызывает наибольшие усилия и
перемещения в конструкции. В этой связи
удобно использовать динамический
коэффициент kд,
который определяется как:
|
(8.8) |
,где 1Р – перемещение точки закрепления массы от приложенной статически внешней нагрузки.
Динамический коэффициент – это безразмерная характеристика, указывающая во сколько раз перемещения (напряжения) конструкции увеличиваются при действии статических и динамических нагрузок в сравнении с действием только статических нагрузок.
Рассмотрим частные случаи действия возмущающей силы.
В случае внезапно приложенной нагрузки, которая не изменяется во времени, уравнение (16.7) примет вид:
|
(8.9) |
.В том случае, когда нагрузка внезапно снимается, система выполняет не вынужденные, а собственные колебания , начальные условия которых y0= 1P и v0 =0. Другие параметры определяются по формулам (8.2)-(8.5).
В
случае влияния некоторой гармонической
нагрузки
с частотой вынужденных колебаний ,
решение уравнения (8.7) приведет к
уравнению движения массы в виде:
|
(8.10) |
,где 1P – перемещение точки закрепления массы от статически приложенной внешней нагрузки, взятой по своему амплитудному значению, – коэффициент нарастания колебаний, которое характеризует соотношение значений вынужденной и собственной частот колебаний:
|
(8.11) |
.Очевидно,
что при =,
получим
и
.
Такое явление называется резонансом.
Резонансом называется явление резкого возрастания амплитуд колебаний при совпадении частот вынужденных и собственных колебаний.
При
учете в уравнении сил сопротивления
движения – диссипативных сил, величина
не равняется бесконечности, а имеет
целиком определенное значение. Однако
в этом случае явление резонанса также
проявляется в виде резкого возрастания
амплитуд колебаний.
Рассмотрим случай ударных нагрузок от некоторой свободно падающей массы M на систему с сосредоточенной массой M0 из высоты h. В инженерной практике часто применяют так называемую техническую теорию удара, которая имеет ряд предположений:
при соударении тело, которое ударяет, двигается вместе с телом, которое испытывает удар, к развитию наибольших деформаций. При этом отсутствуют упругие волны в телах и связанных с ними отскоки ударяющего тела. Такой удар называют неупругим ударом;
на протяжении всего времени деформирования тел при соударении зависимость между деформациями и усилиями, которые возникают в телах, отвечает закону Гука, а сами деформации распространяются по всему объему тел;
кинетическая энергия, которую имело ударяющее тело, к моменту удара, равняется сумме кинетической и потенциальной энергии тел после удара. При этом пренебрегают затратами энергии на смену температуры тел, местные пластические деформации и др.
система тел при соударении имеет одину степень свободы (8.1), т.е. положение системы определяется только одной координатой.
В
момент удара скорость массы M
составляет
.
В случае неупругого удара скорость
системы масс M+M0 по
закону сохранения импульса уменьшится
в раз:
|
(8.12) |
.Коэффициент
принято называть коэффициентом передачи
энергии. Для определения максимальной
силы инерции можно отдельно рассмотреть
два процесса колебаний: собственные
колебания полученной системы масс M+M0
при начальной скорости
и вынужденные колебания системы масс
M+M0
при внезапном приложении силы веса
падающей массы Q=Mg.
В результате такого суммирования решений
(8.2) и (8.9) несложно получить формулу
динамического коэффициента (8.3) при
ударе:
|
(8.13) |
,где f – перемещение точки закрепления массы от статически приложенной силы веса падающей массы Q=Mg. Очевидно, что f=Q11=Mg11.
Важно
отметить, что на динамический коэффициент
(8.3) при расчетах следует
умножать только вес падающей массы –
Mg и принимать такую нагрузку при
расчетах как условно статическую
.
Приложение к исходной системе нагрузки
Pд эквивалентно действия
сил инерции масс системы при колебаниях
и внезапно приложенной силы веса падающей
массы Q=Mg. Таким образом Pд
характеризует только дополнительную
нагрузку от влияния падающей массы.
Поэтому, если до динамического воздействия
к системе были приложенные какие-то
нагрузки, например, от веса массы M0,
то их влияние необходимо учитывать
дополнительно.
Если ударяющая масса не вызывает вертикальной составляющей перемещения, например, при горизонтальном ударе, то динамический коэффициент в (16.13) следует вычислять без единиц.