Задание с1 № 484553 Решите уравнение .

Решение Уравнение равносильно системе

Уравнение системы приводится к виду , откуда или . Уравнение не имеет решений. Учитывая, что котангенс должен быть отрицательным, получаем: . Ответ: .

Задание с2 № 484559

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC.

Решение.

Пусть M и N — середины ребер AS и BC соответственно. AN — медиана правильного треугольника ABC, следовательно, находится по формуле . Прямая AS проектируется на плоскость основания и прямую AN. Поэтому проекция точки M — точка  — лежит на отрезке AN. Значит, прямая AN является проекцией прямой MN, следовательно, угол — искомый.

где O — центр основания, значит,  — средняя линия треугольника ASO поэтому . Тогда и Из прямоугольного треугольника находим:

Из прямоугольного треугольника находим:

Значит, искомый угол равен Ответ:

Задание с3 № 500368

Решить систему неравенств

Решение.

1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену

Тогда или откуда находим решение второго неравенства исходной системы: 2. Решим второе неравенство системы. Рассмотрим два случая. Первый случай:

откуда находим: Учитывая условие получаем: Второй случай:

Учитывая условие получаем: Решение второго неравенства исходной системы:

3. Поскольку получаем решение исходной системы неравенств:

Ответ:

Вопрос: Вопрос по поводу второго неравенства (в отрыве от первого). Обратите внимание на основание и содержимое логарифма. При x =1 неравенство выполняется в части равенства и ученик имел право рассмотреть этот случай. Я, как учитель, согласен с таким решением, но оно идёт в разрез определению. Если возьмём сборник Ершов-Голобородько, то там рассматриваются такие случаи. Больше - нигде. И что же? В сборниках Ященко-Семёнов это решение не принимается. Вот так и возникают "Чёрные дыры". Ведь х^2=2-х имеет смысл при х=1. Не могли бы осветить эту проблему (если можно, то не с формальной точки зрения). Ответ: Дело тут в том, что уравнение имеет бесконечно много корней. Поэтому для придания смысла величине требовалось бы дополнительное соглашение о том, что считать этой величиной.

    

Задание с4 № 500015

Б оковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 6 и 8 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 5, средняя линия трапеции равна 25. Прямые AB и CD пересекаются в точке М. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ВМС.

Решение.

В любой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований трапеции, а средняя линия — полусумме оснований трапеции. В нашем случае полуразность оснований равна 5, а полусумма оснований равна 25, поэтому основания трапеции равны 20 и 30. Предположим что (рис. 1). Стороны BС и АD треугольников МВС и MAD параллельны, поэтому эти треугольники подобны с коэффициентом Значит,

, .

Заметим, что , поэтому треугольник МВС — прямоугольный с гипотенузой BС. Радиус его вписанной окружности равен: . Пусть теперь , (рис. 2). Аналогично предыдущему случаю можно показать, что радиус вписанной окружности треугольника MAD равен 6. Треугольник MAD и МВС подобны с коэффициентом Значит, радиус вписанной окружности треугольника МВС равен .

Ответ: 4; 6.