Результаты Вариант № 402

№ п/п	Номер	Тип		Правильный ответ
1	314867	B1		211,2
2	26868	B2		-10
3	500030	B3		9
4	26677	B4		311
5	26656	B5		3
6	282852	B6		94
7	26764	B7		-12
8	317539	B8		5
9	914	B9		16
10	320172	B10		0,52
11	25601	B11		110
12	43145	B12		7
13	111867	B13		8
14	77490	B14		1

↑ Задание 1 № 314867 тип B1 В квартире, где проживает Алексей, установлен прибор учёта расхода холодной воды (счётчик). 1 сентября счётчик показывал расход 103 куб. м воды, а 1 октября — 114 куб. м. Какую сумму должен заплатить Алексей за холодную воду за сентябрь, если цена 1 куб. м холодной воды составляет 19 руб. 20 коп.? Ответ дайте в рублях. Решение. Расход воды составил 114 − 103 = 11 куб. м. Поэтому Алексей должен заплатить 11   19,2 = 211,2 руб.

Ответ: 211,2.

↑ Задание 2 № 26868 тип B2

На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую температуру воздуха 22 января. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Решение. Из графика видно, что наибольшая температура воздуха 22 января составляла −10 °C (см. рисунок).

Ответ: −10.

↑ Задание 3 № 500030 тип B3

Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Решение. Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание. Высота равна 3 см, основание равно 6 см, поэтому площадь изображённого треугольника равна 9 квадратным сантиметрам.

Ответ: 9.

↑ Задание 4 № 26677 тип B4 Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана.

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за 1 минуту разговора
Повременный	135 руб. в месяц	0,3 руб.
Комбинированный	255 руб. за 450 мин. в месяц	0,28 руб. за 1 мин. сверх 450 мин. в месяц
Безлимитный	380 руб. в месяц

Абонент выбрал наиболее дешевый тарифный план, исходя из предположения, что общая длительность телефонных разговоров составляет 650 минут в месяц. Какую сумму он должен заплатить за месяц, если общая длительность разговоров в этом месяце действительно будет равна 650 минут? Ответ дайте в рублях. Решение. Рассмотрим три случая. На тарифном плане «Повременный» ежемесячная плата будет складываться из абонентской 135 руб. и платы за 650 мин. 650   0,3 = 195 руб. и будет составлять 195 + 135 = 330 руб. На тарифном плане «Комбинированный» ежемесячная плата будет складываться из абонентской 255 руб. и платы за 200 мин. сверх тарифа 200   0,28 = 56 руб. и будет составлять 255 + 56 = 311 руб. На тарифном плане «Безлимитный» ежемесячная плата будет равна 380 рублям. Стоимость самого дешевого варианта составляет 311 рублей. Ответ: 311.

↑ Задание 5 № 26656 тип B5 Найдите корень уравнения . Решение. Возведем в квадрат: Ответ: 3.

↑ Задание 6 № 282852 тип B6 В ромбе ABCD угол ACD равен 43°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах. Решение. Диагональ ромба AC является биссектрисой угла С, поэтому он равен 86°. Сумма углов B и C равна 180°, поэтому искомый угол B равен 94°.

Ответ: 94.

↑ Задание 7 № 26764 тип B7 Найдите значение выражения . Решение. Выполним преобразования .

Ответ: -12.

↑ Задание 8 № 317539 тип B8 На рисунке изображён график функции и восемь точек на оси абсцисс: , , , , . В скольких из этих точек производная функции положительна?

Решение.Положительным значениям производной соответствует интервалы, на которых функция возрастает. На них лежат точки Таких точек 5. Ответ:5.

↑ Задание 9 № 914 тип B9

В правильной четырехугольной пирамиде точка — центр основания, — вершина, , . Найдите длину отрезка . Решение. В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания, следовательно, SO является высотой пирамиды. Тогда по теореме Пифагора

Ответ: 16.

Задание 10 № 320172 тип B10

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Решение. Рассмотрим события

А = кофе закончится в первом автомате, В = кофе закончится во втором автомате.

Тогда

A·B = кофе закончится в обоих автоматах, A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.

По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12. События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48.

Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52. Ответ: 0,52.

Приведем другое решение. Вероятность того, что кофе останется в первом автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется во втором автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна 1 − 0,12 = 0,88. Поскольку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,88 = 0,7 + 0,7 − х, откуда искомая вероятость х = 0,52. Примечание. Заметим, что события А и В не являются независимыми. Действительно, вероятность произведения независимых событий была бы равна произведению вероятностей этих событий: P(A·B) = 0,3·0,3 = 0,09, однако по условию эта вероятность равна 0,12.

↑ Задание 11 № 25601 тип B11

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Решение. Площадь поверхности заданного многогранника равна площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 5, 5: .

Ответ: 110.

↑ Задание 12 № 43145 тип B12

Находящийся в воде водолазный колокол, содержащий  молей воздуха при давлении  атмосферы, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением  (Дж), где  — постоянная,  К — температура воздуха,  (атм) — начальное давление, а  (атм) — конечное давление воздуха в колоколе. До какого наибольшего давления можно сжать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха совершается работа не более чем 29 100 Дж? Ответ приведите в атмосферах. Решение. Задача сводится к решению неравенства при заданных значениях постоянной , температуры воздуха К, начального давления атм и количества воздуха моль:

атм.

Значит, наибольшее давление, до которого можно сжать воздух в колоколе, равно 7 атмосферам.

Ответ: 7.

↑ Задание 13 № 111867 тип B13

Грузовик перевозит партию щебня массой 60 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 4 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за пятый день, если вся работа была выполнена за 8 дней. Решение. Пусть в первый день грузовик перевез тонны щебня, во второй — , …, в последний — тонн; всего было перевезено тонн; норма перевозки увеличивалась ежедневно на тонн. Поскольку

.

Имеем

.

Следовательно, за пятый день было перевезено 8 тонн щебня.

Ответ: 8.

↑ Задание 14 № 77490 тип B14 Найдите точку максимума функции . Решение. Заметим, что . Область определения функции — открытый луч . Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Найденные точки лежит на луче . Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума .

Ответ: 1.

Начало формы

Задание С1 № 500815 а) Решите уравнение . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Решение.

а) Так как , имеем: , . Корни уравнения: б) Корни уравнения изображаются точками и , а корни уравнения — точками и , промежуток изображается жирной дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня уравнения: и .

Ответ:а) б)

Задание С2 № 484568

Длины всех ребер правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с вершиной P равны между собой. Найдите угол между прямой BM и плоскостью BDP, если точка M — середина бокового ребра пирамиды AP.

Решение.

Пусть отрезок PH — высота пирамиды PABCD, отрезок MN — средняя линия треугольника APH (см. рисунок). Поскольку PABCD — правильная пирамида, точка H — центр квадрата ABCD, значит, и , откуда . Но, , следовательно, . Таким образом, прямая BN — проекция прямой BM на плоскость BDP, значит, угол мужду прямой BM и плоскостью BDP равен углу между прямой BM и прямой BN, т. е. острому углу MBN прямоугольного треугольника MBN.

Примем длину ребра данной пирамиды за 1, тогда , , и, следовательно,

, .

Ответ: .

Задание С3 № 500020

Решите систему неравенств

Решение.

1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену .

; ; .

Тогда , откуда находим решение первого неравенства системы: . 2. Решим второе неравенство системы. Рассмотрим два случая. Первый случай: .

; ; ; .

Учитывая условие , получаем: . Второй случай: .

; ; ; .

Учитывая условие , получаем ; . Решение второго неравенства системы: ; ; . 3. Решение исходной системы неравенств: ; ; .

Ответ: ; ; .

Задание С4 № 484623

На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD. Найдите высоту треугольника ABP, проведённую из вершины A, если известно, что сторона квадрата равна 1.

Решение.

Пусть точки Р и А лежат по одну сторону от прямой CD (рис. 1). Треугольник BCP — равнобедренный (BC = CD = CP = 1), поэтому

,

значит, .

Пусть AH — высота треугольника ABP. Из прямоугольного треугольника ABH находим, что

.

Пусть теперь точки P и A лежат по разные стороны от прямой CD (рис.2). Треугольник BCP — равнобедренный (BC = CD = CP = 1), поэтому

, значит,

Из прямоугольного треугольника ABH находим, что

.

Ответ: или .

Задание С5 № 500390

Найдите все значения , при каждом из которых уравнение имеет более двух корней.

Решение.

Рассмотрим функции и . Исследуем уравнение . На промежутке функция возрастает. Функция убывает на этом промежутке, поэтому уравнение имеет не более одного решения на промежутке , причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, , то есть при . При уравнение принимает вид . При левая часть этого уравнения отрицательна, следовательно, решений нет. При это уравнение сводится к квадратному уравнению дискриминант которого , поэтому при это уравнение не имеет корней; при уравнение имеет единственный корень, равный ; при уравнение имеет два корня. Пусть уравнение имеет два корня,

и .

Тогда меньший корень всегда меньше , а больший корень не превосходит , если , то есть при . По теореме Виета:

, ,

поэтому знаки корней и зависят от знаков выражений и . Значит, при оба корня отрицательны, при один из корней отрицательный, а другой неотрицательный, при оба корня неотрицательны. Таким образом, при уравнение не имеет корней при и , имеет один корень при и , имеет два корня при . Таким образом, уравнение имеет следующее количество корней: — нет корней при ; — один корень при и ; — два корня при и ; — три корня при . Ответ: .

Задание С6 № 500197

Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают. а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 1? в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?

Решение.

Обозначим суммы чисел в группах , , , а указанную в условии сумму модулей их попарных разностей через . Можно считать, что . а) Чтобы число равнялось 0, необходимо, чтобы каждая из разностей равнялась 0, то есть . Сумма всех двенадцати чисел . С другой стороны, она равна , но 78 не делится на 4. Значит, . б) Чтобы число равнялось 1, необходимо, чтобы все, кроме одной, разности равнялись 0. Значит, , но в этом случае каждая из сумм , не равна хотя бы одной из сумм , поэтому хотя бы три разности не равны 0 и число не меньше 3. Значит, . в) Выразим число явно через , , , :

В предыдущих пунктах было показано, что . Если , то или . В этом случае сумма всех двенадцати чисел равна или , то есть нечётна, что неверно. Для следующего разбиения чисел на группы: ; ; ; — число равно 4. Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

Конец формы