§ 16.4. Синтез дискретных систем по заданным показателям качества
В рассматриваемом ниже методе синтеза предполагается, что в соответствии с техническим заданием необходимо синтезировать систему управления с астатизмом первого порядка по задающему воздействию и с определенными первичными показателями качества такими, как время регулирования и перерегулирование. Фактически здесь требуется найти разностное уравнение, описывающее алгоритм работы ЦУУ, при котором указанные первичные показатели качества синтезированной замкнутой системы будут не хуже заданных.
Перейдем к изложению метода синтеза. При этом будем считать, что структура проектируемой системы управления соответствует, приведенной на рис. 16.1, причем выполняются все указанные в начале данной главы предположения в отношении АЦП и ЦАП так, что расчетную схему синтезируемой системы с цифровым управлением можно представить в виде, показанном на рис. 16.3. Отметим, что ЦУУ строиться здесь также на основе управления по выходу и воздействиям, с использованием полиномиального подхода.
Передаточная
функция
дискретного объекта управления (ДОУ)
может быть получена описанными в § 15.3
и в § 15.4 способами либо из уравнений в
переменных состояния непрерывной части
системы по формулам (15.3)
– (15.10),
(15.18), либо на основе её передаточной
функции
по формуле (15.23).
При цифровом управлении длительность
импульсов ЦАП всегда равна периоду
следования Т,
поэтому здесь формула (15.23) значительно
упрощается и принимает вид
,
(16.19)
где
,
– некоторые полиномы.
Замечание.
Так как длительность импульсов ЦАП
всегда равна периоду следования Т,
то
-преобразование
в формуле (16.19) удобнее всего осуществлять
на ЭВМ с помощью функции c2d
из пакета MATLAB, как показано
в примере 15.4.
Пример 16.3. Допустим, на непрерывный объект с передаточной функцией
поступают импульсы управления с ЦАП, с периодом следования Т = 0,15с. Найти полиномы соответствующей дискретной передаточной функции (16.19).
Решение в MATLAB.
% команды:
w = tf(5, [0.5 1.5 1]);
wd = c2d(w,0.15)
% результат:
Transfer function:
0.09701 z + 0.0835
----------------------
z^2 - 1.602 z + 0.6376
Sampling time: 0.15
Таким
образом, в данном примере
,
а
.
В дальнейшем будем
считать, что полиномы из (16.19) известны,
и обозначим
,
.
Равенству (16.19) соответствует следующее
уравнение «вход-выход» объекта управления
в z-изображениях:
.
(16.20)
Так как, согласно
рис. 16.3, на вход ЦУУ поступают переменные
и
,
а на его выходе формируется
,
то по аналогии с уравнением (8.3) непрерывного
устройства управления уравнение ЦУУ с
учетом запаздывания на период можно
записать так:
,
(16.21)
где
,
,
– некоторые неизвестные полиномы.
Именно эти полиномы необходимо найти
в результате решения задачи синтеза.
Это объясняется тем, что, как будет
показано ниже, переход от уравнения
(16.21) к соответствующему алгоритму работы
ЦУУ типа (16.1), (16.2) или (16.16) при выполнении
условий физической реализуемости не
представляет каких-либо сложностей.
Множитель z–1 в правой части (16.21), в соответствии с условием (16.3), учитывает запаздывание на такт, которое возникает в ЦУУ из-за указанных выше затрат времени на обработку информации и вычисление uk. Поэтому условия физической реализуемости уравнения «вход-выход» ЦУУ (16.21) имеют вид
,
.
(16.22)