§ 15.4. Передаточные функции импульсных систем
Очень часто
замкнутые импульсные системы (см. рис.
15.10) с АИМ задаются параметрами импульсов
и передаточной функцией
непрерывной части. В этом случае модель
системы в форме разностных уравнений
(15.12) или в форме передаточных функций
или
(15.18) можно найти двумя способами.
Первый способ заключается в том, что сначала от заданной переходят любым из известных способов к уравнениям непрерывной части в переменных состояния (15.4), (15.5), а затем применяют приведенные выше соотношения (15.8) – (15.18).
Другой способ
заключается в определении
непосредственно по
.
В этом случае имеющийся в системе (рис.
15.10) импульсный элемент (ИЭ) заменяется
последовательно соединёнными ключом
K, работающим с периодом
Т, и формирующим элементом (ФЭ) (рис.
15.11). При этом импульсная переходная
функция
формирующего элемента совпадает с
функцией, описывающей форму исходного
(единичного) импульса. Поэтому передаточная
функция
формирующего элемента определяется
выражением
,
(15.20)
где
–
функция, описывающая единичный импульс
реального импульсного элемента;
–
обозначение непрерывного преобразования
Лапласа.
Например, если
импульсный элемент системы формирует
прямоугольные импульсы длительностью
,
то функция
.
Поэтому по формуле (15.20) для случая
прямоугольных импульсов имеем
.
(15.21)
Отметим, что если
выходными сигналами импульсного элемента
являются
-импульсы,
то в соответствии с (15.20)
.
Указанное представление реального импульсного элемента позволяет представить структурную схему импульсной системы (см. рис. 15.10) в разомкнутом состоянии, как показано на рис. 15.11. На этом рисунке обозначено
,
(15.22)
причём совокупность непрерывной части и формирующего элемента называется приведённой непрерывной частью.
Дискретная передаточная функция этой системы определяется выражением
.
(15.23)
Здесь
– преобразование, которое функции
ставит в соответствие функцию
,
т.е.
.
Для выполнения
-преобразования
в (15.23) удобнее всего разложить
на простейшие дроби, а затем заменить
эти дроби соответствующими z-изображениями
(например, взятыми из таблиц, содержащими
изображения по Лапласу непрерывных и
дискретных функций).
Рассмотрим этот способ определения Wp(z) на конкретном примере.
Пример 15.3. Пусть
,
а импульсный элемент формирует
прямоугольные импульсы длительностью
,
где число
.
Найти дискретную передаточную функцию
импульсной системы в разомкнутом и
замкнутом состоянии, если обратная
связь единичная и отрицательная.
Решение. Так как импульсы прямоугольные, то согласно (15.21) и (15.22), имеем
,
.
Представим эту функцию следующим образом:
.
-изображения
обычных и запаздывающих дробей,
содержащихся в данном выражении,
определим с помощью таблицы, приведенной
в приложении П.1. В данном случае имеют
место соответствия:
,
,
,
,
где
.
Умножая найденные -изображения на соответствующие коэффициенты из разложения и суммируя, получим искомую передаточную функцию
.
(15.24)
Здесь
,
,
.
Так как в
рассматриваемой системе обратная связь
единичная и отрицательная, т.е.
,
то по второй формуле (15.18) с учетом (15.24)
найдем
.
(15.25)
Для получения уравнения «вход-выход» дискретной системы достаточно перейти, как показано в примере 15.2, от найденной передаточной функции (15.25) к этому уравнению. ■
Отметим, что если
непрерывная часть системы полная, то
степень знаменателя передаточной
функции
(15.23) должна быть равна степени знаменателя
или размеру матрицы
уравнений в переменных состояния (15.4)
непрерывной части (т.е. без учета
импульсного элемента).
Рассматриваемую в данном параграфе задачу определения по можно решить и в MATLAB. Приведём пример для случая численных значений параметров непрерывной части и импульсного элемента. При этом рассмотрим случай, когда длительность импульсов равна периоду их следования, а непрерывная часть имеет запаздывание.
Пример 15.4. Допустим, непрерывная часть цифровой САУ имеет передаточную функцию
.
Период следования импульсов на выходе ЦАП Т = 0,15 с. Найти соответствующую .
Решение в MATLAB.
Длительность импульсов на выходе ЦАП
равна периоду их следования. Поэтому в
данном случае
и вводятся следующие
% команды:
w = tf(1.2, [0.7 1.2 0],'InputDelay',0.3);
wd = c2d(w,0.15)
% результат
Transfer function:
0.01773 z + 0.01628
z^(-2) * ----------------------
z^2 - 1.773 z + 0.7733
Sampling time: 0.15
Таким образом, передаточная функция рассматриваемой системы в разомкнутом состоянии имеет вид
.
■
Рассмотрим один из возможных алгоритмов перехода от передаточной функции дискретной системы к её уравнениям в переменных состояния. Если дискретная система имеет несколько выходов и один вход, то целесообразно применять соотношения соответствующие канонической управляемой форме. Напротив, если система имеет несколько входов и один выход, то целесообразно применять соотношения соответствующие канонической наблюдаемой форме. Если же дискретная система имеет несколько входов и выходов, то при выборе соответствующих соотношений целесообразно руководствоваться рекомендациями, изложенными в [3. С. 126 – 130].
Предположим, найдена передаточная функция дискретной системы с одним входом и