Укажем некоторые свойства z-преобразования. Пусть результат z-преобразования некоторой дискретной функции , т. Е. . Тогда справедливы соотношения

, , ,

(15.15)

и теоремы о предельных значениях

,

.

Здесь – обозначение нулевых начальных условий.

Соотношения (15.15) применяются для определения реакции замкнутых систем на заданные воздействия, если известны z-изображения последних. Z-преобразование позволяет ввести, как и в непрерывном случае, передаточные функции дискретных систем.

Если воспользоваться соотношениями (15.15) и преобразовать уравнения (15.14) при нулевых начальных условиях, то будем иметь

, .

Отсюда

, . (15.16)

Применяя правила обратного Z-преобразования к правым частям равенств (15.16), можно найти оригиналы и при заданном . Это позволяет получить аналитические выражения, которые определяют значения и для любого значения .

Замечание. При взятии обратного Z-преобразования от изображения в виде рациональной дроби типа (5.16) на сумму простейших дробей разлагается не само z-изображение искомой функции, а сначала из числителя z-изображения выносится переменная z. Оставшаяся рациональная дробь разлагается обычным путем на сумму простейших дробей. Эта особенность связана с тем, что z-изображения всегда имеют множитель z в числителе.

Из второго соотношения (15.16) можно также найти передаточную функцию замкнутой дискретной системы (15.14):

,

или

. (15.17)

Таким образом, передаточные функции импульсных систем, как и передаточные функции непрерывных систем, являются отношением полиномов, но от переменной . При этом степень числителя также не может превышать степень знаменателя.

Если уравнения (15.8), (15.9) подвергнуть Z-преобразованию, то при можно получить передаточную функцию импульсной системы в разомкнутом состоянии, тоже как отношение полиномов от z. При этом передаточная функция импульсной системы в замкнутом состоянии при отрицательной единичной обратной связи определяется по обычной формуле, т.е. если

, то . (15.18)

Пример 15.2. Порядок определения передаточных функций и соответствующих уравнений «вход-выход» в MATLAB покажем на примере системы (15.14).

% Вводим заданные матрицы, векторы и число d=0 командами:

a = [0.019 -0.116;-0.477 -0.109];

b = [0.116 0.477]';

c = [1 1]; d = [0];

[ap,bp] = ss2tf(a,b,c,d)

% результат:

bp =

0 0.593 -0.10708

ap =

1 0.09 -0.057403

Следовательно, дискретная передаточная функция системы (15.14)

. (15.19)

Чтобы перейти от передаточной функции (15.19) к уравнению «вход-выход» разделим числитель и знаменатель на z в старшей степени (в данном случае на z²) и запишем, в соответствии с определением передаточных функций, пропорцию

.

Раскрывая эту пропорцию и переходя к оригиналам с помощью соотношений (15.15), получим

.

Это выражение и является разностным уравнением «вход-выход» импульсной системы, рассмотренной в примере 15.1. ■

Отметим в заключение этого параграфа, что приведённые соотношения (15.8) – (15.18) позволяют найти модель импульсной системы по уравнению импульсного элемента (15.3) и по уравнениям в переменных состояния её непрерывной части (15.4), (15.5).