§ 15.3. Уравнения импульсных систем управления
С помощью структурной схемы, приведенной на рис. 15.8, можно получить различные уравнения импульсной системы, используя уравнения импульсного элемента и непрерывной части, представленные в той или иной форме.
Предположим, ИЭ
формирует прямоугольные импульсы
длительностью
с различной амплитудой. График его
выходного сигнала
для этого случая приведен на рис. 15.9.
Аналитически зависимость, представленную
на рис. 15.9, можно описать следующими
выражениями:
(15.3)
где
–
коэффициент передачи ИЭ.
Предположим, непрерывная часть (НЧ) (см. рис. 15.8) задана своими уравнениями в переменных состояния
,
(15.4)
.
(15.5)
Обратим внимание,
что в импульсных системах всегда
отсутствует прямая связь между входной
переменной
непрерывной части и её выходной переменной
.
Поэтому в уравнении (15.5) отсутствует
переменная
.
Кроме того, в импульсных системах (см.
рис. 15.8) связь между входной переменной
и выходной непрерывной
переменной
является нелинейной. Поэтому чаще всего
здесь рассматривается связь между
дискретными значениями
управления
,
дискретными значениями
выходной переменной
и соответствующими значениями переменных
состояния НЧ.
Для вывода уравнений импульсной системы в разомкнутом состоянии (см. рис. 15.8) воспользуемся формулой Коши. На основе уравнения (15.4) можно записать равенство
.
(15.6)
Положим в (15.6)
,
,
и проведём замену переменных. В результате
будем иметь
.
В соответствии с
уравнениями (15.3) импульсного элемента
величина
на интервале от
до
равна нулю, а на интервале от
до
равна
.
Поэтому
.
Отсюда следует равенство
,
(15.7)
где обозначено
.
Выражения (15.7) и (15.5) можно записать
следующим образом:
,
(15.8)
,
(15.9)
где
.
(15.10)
Если матрица
является неособенной, т.е.
,
то интеграл в (15.10) можно взять в символьной
форме. В результате получим
.
Отсюда
.
(15.11)
Если же матрица
является особенной, т.е.
,
то интеграл в (15.10) необходимо вычислять
путем интегрирования каждого элемента
подынтегральной матрицы в отдельности.
Выражения (15.8),
(15.9) являются разностными
уравнениями
импульсной системы в разомкнутом
состоянии. Эти уравнения связывают лишь
дискретные значения переменных состояния
с дискретными же значениями входной
переменной
и выходной переменной
рассматриваемой системы (см. рис. 15.8).
Название «разностные уравнения» связаны
с тем, что в эти уравнения можно ввести
первые разности, т.е. величины
– убывающую разность, или же
– восходящую разность.
Для вывода уравнений
замкнутой системы, структурная схема
которой показана на рис. 15.10, необходимо
в уравнении (15.8) заменить
на
и учесть, что
.
В
результате, принимая во внимание
уравнение (15.9), получим
или
,
,
(15.12)
где
.
(15.13)
Выражения (15.12) являются разностными уравнениями в переменных состояния замкнутой импульсной или цифровой системы.
Таким образом, и
импульсные, и цифровые системы описываются
разностными уравнениями в переменных
состояния типа (15.12), (15.13), решениями
которых являются дискретные функции
,
.
Поэтому, когда говорят о дискретных
системах, то имеют в виду и импульсные,
и цифровые системы.
Пример 15.1. Найти
уравнения импульсной системы, структурная
схема которой приведена на рис. 15.10.
Импульсный элемент формирует
прямоугольные импульсы с параметрами
с,
с.
Его коэффициент передачи
.
Непрерывная часть описывается уравнениями:
.
Решение. В
данном случае матрица
является диагональной, поэтому в
соответствии с выражениями (15.8) – (15.11)
имеем
, 
,
,
,
.
Итак, уравнения системы в разомкнутом состоянии имеют вид
.
Перейдем к выводу уравнений системы в замкнутом состоянии. По формуле (15.13) находим:
.
Следовательно, согласно (15.12), в замкнутом состоянии рассматриваемая система
описывается уравнениями:
,
.
(15.14)
Заметим, что вектор с в полученном уравнении выхода совпадает с аналогичным вектором непрерывной части системы.
Коэффициенты
матрицы
и вектора
(15.10) из уравнения (15.8) системы в разомкнутом
состоянии удобно находить с помощью
MATLAB.
При этом, если импульсный элемент
формирует прямоугольные импульсы,
длительность которых меньше периода
следования, т.е.
,
то можно использовать нестандартную
программу c2taud,
текст которой приведён в приложении
П.4. Если же длительность импульсов равна
периоду следования, т.е.
,
и
,
то используется стандартная программа
c2d.
Отметим также, что в MATLAB
уравнение выходов (15.5) принимается в
виде
.
Решение в MATLAB.
В рассматриваемом примере
,
,
поэтому обращение к MATLAB
имеет вид:
% команды
sys = ss([-2 0;0 -1],[1 2]',[1 1],0);
T =1; tau = 0.5; kie = 1;
[syss, sysw] = c2taud(sys,T,tau,kie);
[a,b,c,d]=ssdata(syss)
% результат
a =
0.13534 0
0 0.36788
b =
0.11627
0.4773
c =
1 1
d =
0
Полученные в MATLAB результаты, очевидно, полностью соответствуют приведённым выше. ■
Если непрерывная часть системы (рис. 15.10) задана не уравнениями в переменных состояния, а передаточной функцией (в рассмотренном примере она равна (3p + 5)/(p2 + 3p + 2), то в приведенных выше командах пакета MATLAB первая имеет вид
sys = tf([3 5],[1 3 2]);
а остальные команды не меняются. Пример применения программы c2d для получения уравнений импульсной системы по модели непрерывной части приведён ниже.
Уравнения вход-выход дискретных систем управления. Преобразование Лапласа над решетчатыми функциями, которые в соответствии с полученными выше уравнениями описывают поведение дискретных систем, называется дискретным преобразованием Лапласа или Z-преобразованием. Результат Z-преобразования решетчатой функции, как и в случае непрерывного преобразования Лапласа, называется изображением, а сама решетчатая функция – оригиналом.
Для наиболее
распространенных функций z-изображения
приведены в приложении П.1. Для существования
Z-преобразования решетчатая
функция должна быть равна нулю при
отрицательном значении аргумента, а
при
расти не быстрее экспоненты.