14.3. Управляемая форма Жордана

Система линейных дифференциальных уравнений в переменных состояния, где матрица A системы является сопровождающей, а входной вектор управления b равен n-му столбцу единичной матрицы (например, система (7.8)) называется канонической управляемой формой или управляемой формой Фробениуса. Как показано выше, если уравнения некоторого объекта приведены к этой форме, то легко синтезируется, в частности, модальное управление.

Если к управляемой форме Фробениуса (7.8) привести уравнения нелинейных управляемых систем, например (14.15), то их коэффициенты чаще всего оказываются зависящими от управления и его производных по времени: , , и т.д. Это значительно осложняет синтез нелинейных САУ на основе этого подхода, делая его практически невозможным.

В то же время существует другая форма уравнений динамических систем в переменных состояния, которая также позволяет сравнительно легко, действуя по формальному алгоритму, найти, нелинейное управление, например, оптимальное или аналогичное модальному в линейном случае. При этом управлении матрица уравнений замкнутой нелинейной системы в квазилинейном представлении типа (14.17) и при соответствующих переменных состояния имеет вид -клетки Жордана (в общем случае с различными диагональными элементами). Поэтому эта форма и называется управляемой формой Жордана.

Переходя к определению управляемой формы Жордана, рассмотрим следующую систему уравнений:

, , (14.26)

, (14.27)

где и – нелинейные функции переменных состояния , дифференцируемые необходимое число раз по всем своим переменным; u – управление.

Предположим, система уравнений (14.26), (14.27) удовлетворяет следующим условиям:

, , , (14.28)

где – некоторая область пространства . Условимся, что здесь и в дальнейшем имеются в виду только такие области пространства Rⁿ, которые включают начало соответствующей системы координат: , и т.д.

Определение. Если нелинейности системы уравнений (14.26), (14.27) удовлетворяют условиям (14.28), то эта система уравнений называется управляемой формой Жорданa.■

Сравнивая уравнения (7.8) и (14.26), (14.27), нетрудно заключить, что каноническая управляемая форма Фробениуса является частным случаем управляемой формы Жордана (УФЖ), при , (для ) и .

Переменные состояния , в дальнейшем будем считать доступными прямому измерению отклонениями от положения равновесия , причем , .

Задача синтеза САУ для объекта (14.26), (14.27) заключается в определении такого управления , при котором обеспечивается асимптотическая устойчивость в большом или в целом положения равновесия .

С целью построения искомого управления задаются n вещественными числами , и вводят новые переменные состояния w_i замкнутой системы следующим образом:

, , . (14.29)

Далее определяются функции и в соответствии с формулами:

, , (14. 30)

где .

Из выражений (14.29) следует, что каждая переменная w_i зависит лишь от первых i

переменных состояния , исходного объекта (14.26), (14.27), т.е. . Введённые функции w_i, , и позволяют сформулировать теорему, которая доставляет решение поставленной выше задачи синтеза.

Теорема 14.2. Если правые части системы (14.26), (14.27) удовлетворяют в некоторой области условиям (14.28), а управление определяется выражением

, (14.31)

то переменные (14.29) удовлетворяют системе уравнений

, , . ■ (14.32)

Доказательство теоремы достаточно очевидно из соотношений (14.26) – (14.31) и здесь не приводится. Заметим только, что при выполнении условий (14.28) функция . Тем самым обеспечивается существование стабилизирующего управления (14.31). В векторно-матричной форме уравнения (14.32) имеют вид

, (14.33)

где

.

При , матрица совпадает с клеткой Жордана размера . Именно поэтому система уравнений (14.26), (14.27) называется управляемой формой Жордана, если её

правые части удовлетворяют условиям (14.28) в некоторой области .

Систему уравнений (14.26), (14.27) с учетом управления (14.31) можно записать в виде

, (14.34)

где – нелинейная вектор-функция, причем , , а определяется правыми частями соотношений (14.27) и (14.29) – (14.31).

Покажем, что положение равновесия системы (14.34) асимптотически устойчиво и имеет некоторую непустую область притяжения . Действительно, согласно равенствам (14.29), вектор-функция является дифференцируемой по всем своим переменным, поэтому с учетом уравнения (14.34) можно записать равенство

, (14.35)

где – якобиан вектор-функции по переменным .

Нетрудно установить, что в силу свойств функций , и условий (14.28) существует область такая, что

, , , (14.36)

причем при , и всех решение , а в области существует обратное отображение . Поэтому если в уравнение (14.35) подставить зависимость , то оно перейдёт в (14.33). Приравнивая правые части этих уравнений, придём к равенству

, , . (14.37)

Далее рассмотрим функцию , где B – симметрическая матрица, определяемая решением уравнения Ляпунова

(14.38)

при . Поскольку – устойчивая матрица, то , поэтому функция тоже.

Её производная по времени как сложной функции определяется следующим выражением:

, .

Отсюда с учетом равенств (14.34) выводим

.

Наконец, комбинируя это выражение с равенством (14.37) и учитывая (14.38), получим

, .

В силу приведённой выше теоремы 12.4 это неравенство доказывает асимптотическую устойчивость положения равновесия замкнутой системы (14.34) и то, что область является его областью притяжения, так как по условию .

Итак, если уравнения некоторого объекта имеют УФЖ (14.26) – (14.28), то соотношения (14.29) – (14.31) позволяют найти стабилизирующее управление в виде нелинейной обратной связи по вектору состояния .