Представление синусоидальных эдс, напряжений и токов комплексными числами

Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.

К аждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в :

показательной    

тригонометрической        или

алгебраической        - формах.

Например, ЭДС   , изображенной на рис. 7 вращающимся вектором, соответствует комплексное число

 .

Фазовый угол    определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как

  .

Векторы:

9 Вопрос

Рисунок 3.1 - Схема последовательного соединения резистивного, индуктивного и ёмкостного элементов

Пусть известен ток i и напряжение u:

                                 (3.1)

Рисунок 3.2 - Временные диаграммы напряжений и тока в последовательной RLC-цепи

 

По второму закону Кирхгофа:

      (3.2)

Принимаем постоянную интегрирования равной нулю.

Напряжение на сопротивлении совпадает по фазе с током, напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на угол π/2, а напряжение на ёмкости отстаёт по фазе от тока на угол π/2.

Запишем все эти выражения в комплексном виде:

       (3.3)

По формуле Эйлера:

.                                       (3.4)

Правило перехода:

.                                                        (3.5)

Синусоидальная функция заменяется изображающей ее комплексной величиной, дифференцирование заменяется умножением на jω, а интегрирование - делением на jω.

Вектор Ú_R получается умножением İ на действительную величину R (Аргумент комплексной величины не изменяется, вектор имеет то же направление).

Вектор Ú_L получается умножением İ на jωL. (Аргумент увеличивается на π/2, т.е. повёрнут на угол π/2 <вперед>.)

Вектор Ú_C получается делением İ на jωC. (Аргумент уменьшается на π/2, т.е. повёрнут на угол π/2 <назад>.)

Часто j называют оператором поворота на π/2.

Рисунок 3.3 - Векторная диаграмма напряжений в схеме с  последовательным соединением резистивного, индуктивного и ёмкостного элементов

                 (3.6)

Данное соотношение называют законом Ома в комплексной форме.

Запишем в показательной форме:

,                   (3.7)

где        

,

т.к. действительная часть больше нуля (R>0), функция имеет такой вид.

,

,

,                                 (3.8)

11)Активное сопротивление – элемент цепи, в котором выделяется тепловая энергия(резистор).

Реактивное сопротивление – элемент цепи, в котором энергия запасается в электрическом или магнитном полях.(емкость и индуктивность).

Любой проводник имеет 3 составляющих:

• Резестивную

• Индуктивную

• Емкостную

Полное сопротивление (Z) - это векторная сумма всех сопротивлений: активного, емкостного и индуктивного.  z =√ r² + x² =√r²+(x_L−x_C)² - полное сопротивление цепи  - активное сопротивление.  - емкостное сопротивление.  - индуктивное сопротивление.  - полное сопротивление определяет силу тока в цепи по закону Ома.

Для расчета полного сопротивления используется треугольник сопротивлений активной и реактивной составляющих.

12) Резонанс напряжений. При резонансе напряжений индуктивное сопротивление X_Lравно емкостному Х_с и полное сопротивление Z становится равным активному сопротивлению R

Резонанс напряжений Режим работы RLC цепи или LC-цепи, при условии равенства реактивных сопротивлений XC = XL, когда общее напряжение цепи совпадает по фазе с её током , называется резонансом напряжения. XC = XL – условие резонанса Признаки резонанса напряжения: Напряжение на входе совпадает по фазе с током, т.е. сдвиг фаз между I и U φ = 0, cos φ = 1 Ток в цепи будет наибольшим и как следствие Pmax = I2maxR тоже максимальна, а реактивная мощность равна нулю. Резонансная частота  Резонанс можно достигнуть, изменяя L, C или ω. Векторные диаграммы при резонансе напряжений