Вариант 4

Номер предприятия				Номер предприятия
1	7	3,5	9	11	10	6,3	22
2	7	3,6	10	12	10	6,5	22
3	7	3,9	12	13	11	7,2	24
4	7	4,1	17	14	12	7,5	25
5	8	4,2	18	15	12	7,9	27
6	8	4,5	19	16	13	8,2	30
7	9	5,3	19	17	13	8,4	31
8	9	5,5	20	18	14	8,6	33
9	10	5,6	21	19	14	9,5	35
10	10	6,1	21	20	15	9,6	36

№	y	x1	x2	yx1	yx2	x1x2	x1^2	x2^2	y^2
1	7	3,5	9	24,5	63	31,5	12,25	81	49
2	7	3,6	10	25,2	70	36	12,96	100	49
3	7	3,9	12	27,3	84	46,8	15,21	144	49
4	7	4,1	17	28,7	119	69,7	16,81	289	49
5	8	4,2	18	33,6	144	75,6	17,64	324	64
6	8	4,5	19	36	152	85,5	20,25	361	64
7	9	5,3	19	47,7	171	100,7	28,09	361	81
8	9	5,5	20	49,5	180	110	30,25	400	81
9	10	5,6	21	56	210	117,6	31,36	441	100
10	10	6,1	21	61	210	128,1	37,21	441	100
11	10	6,3	22	63	220	138,6	39,69	484	100
12	10	6,5	22	65	220	143	42,25	484	100
13	11	7,2	24	79,2	264	172,8	51,84	576	121
14	12	7,5	25	90	300	187,5	56,25	625	144
15	12	7,9	27	94,8	324	213,3	62,41	729	144
16	13	8,2	30	106,6	390	246	67,24	900	169
17	13	8,4	31	109,2	403	260,4	70,56	961	169
18	14	8,6	33	120,4	462	283,8	73,96	1089	196
19	14	9,5	35	133	490	332,5	90,25	1225	196
20	15	9,6	36	144	540	345,6	92,16	1296	225
сумма	206	126	451	1394,7	5016	3125	868,64	11311	2250
средн зн	10,3	6,3	22,55	69,735	250,8	156,25	43,432	565,55	112,5

Найдем средние квадратические отклонения признаков:

Qy= - = =2.531

Qx1= - = 6,3^2=1,934

Qx2= - = =7,552

1. Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.

Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии

необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , , :

либо воспользоваться готовыми формулами:

; ;

.

Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:

cov(y;x1)= - * =69,735-10,3*6,3=4,845

cov(y;x2)= - * =250,8-10,3*22,55=18,535

cov(x1;x2)= - * =156,25-6,3*22,55=14,185

= = =0,989

= =0,969

= =0,971

Находим

= * =1,308* =1,101

= * =0,335* =0,047 =10,3-1,101*6,3-0,047*22,55=10,3-6,936-1,059=2,305

Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:

Yшл=2,305+1,101*x1+b2*x2

Коэффициенты и стандартизованного уравнения регрессии находятся по формулам:

B1=b1 =1,101* =0,841

B2=b2 =0,047* =0,140

Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:

tшлY=0,841* +0,140*

Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.

Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:

.

Вычисляем:

=1,101* =0,67 =0,047* =0,10

Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,67% или 0,10% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора , чем фактора .

2. Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:

=0,989 0,969 0,971

Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы и явно коллинеарны, т.к 0,971>0,7 ). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.

При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:

= = =3,42

= = =0,258

Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.

Коэффициент множественной корреляции определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:

,

где

– определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

– определитель матрицы межфакторной корреляции.

= =1

= =0,057

Коэффициент множественной корреляции

= = 0,996

Нескорректированный коэффициент множественной детерминации

2. =0,988 оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 98,8% и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь факторов с результатом.

Скорректированный коэффициент множественной детерминации

= 1 – (1- ) =1 – ( 1 – 0,988) =0,987

определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более 98% ) детерминированность результата в модели факторами и .

Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает -критерий Фишера:

.

В нашем случае фактическое значение -критерия Фишера:

= * =645,34

Получили, что > (при ), т.е. вероятность случайно получить такое значение -критерия не превышает допустимый уровень значимости . Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи .

2. С помощью частных -критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после при помощи формул:

;

.

Найдем и

=0,989^2=0,978

=0,969^2=0,938

Имеем

= * =19,295

= * =1,368

Получили, что . Следовательно, включение в модель фактора после того, как в модель включен фактор статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака оказывается незначительным, несущественным; фактор включать в уравнение после фактора не следует.

Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант включения после , то результат расчета частного -критерия для будет иным. , т.е. вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта . Следовательно, значение частного -критерия для дополнительно включенного фактора не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора является существенным. Фактор должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора .

2. Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами и с =0,988 содержит неинформативный фактор . Если исключить фактор , то можно ограничиться уравнением парной регрессии:

=0,978