Редукция по симметрии.

Все конечные точечные группы являются подгруппами группы трехмерных вращений и отражений R_h(3). Неприводимые представления конечных групп можно получить в результате редукции неприводимых представлении группы R_h(3). Процедура редукции заключается в отображении элементов симметрии группы R_h(3) в соответствующие элементы конечной точечной группы. В качестве примера рассмотрим редукцию представлений D_u⁽¹⁾ и D_g⁽²⁾ в представления группы T_d.

Rh(3)	E	C(=120o)	C(=180o)	S(=90o)	
Td	E	8C3	3C2	6S4	6d
Du(1)	3	1+2cos(120o)	1+2cos(180o)	-1+2cos(90o)	1
	3	0	-1	-1	1
Dg(2)	5	1+2cos(120o) +2cos(240o)	1+2cos(180o) +2cos(360o)	1-2cos(90o) +2cos(180o)	1
	5	-1	1	-1	1

Т.о. представление D_u⁽¹⁾ переходит в представление T_d ( D_u⁽¹⁾  T₂), а

D_g⁽²⁾  E + T₂. По представлению D_u⁽¹⁾ преобразуются p-орбитали свободного атома, а по D_g⁽²⁾ – d-орбитали.

Симметрическая группа перестановок.

Симметрическая группа перестановок степени n (S(n)) – множество всех n! возможных перестановок n объектов. Рассмотрим свойства симметричной группы на примере группы S(3) изоморфной точечной группе C_3v. Все возможные перестановки изображены на рис. В скобках рядом с обозначением перестановки – соотвестствующие операции симметрии точечной группы. Перестановки элементов можно представить в виде двух строк: верхняя строка – первоначальный порядок элементов, нижняя – порядок элементов после перестановки. Т.о. перестановки на рис. можно представить в виде:

P₂, P₃ – циклические перестановки всех трех элементов.

P₄, P₅, P₆ – циклические перестановки 2-х элементов.

О пределим произведение перестановок

При записи элементы, остающиеся без изменений обычно опускаются и тогда, , а

Все перестановки можно разложить на циклические перестановки. Все циклические перестановки можно представить в виде произведений циклов второго циклов (транспозиций).

Например:

В зависимости от количества транспозиций различают четные и нечетные перестановки. Обычно циклические перестановки записывают сокращенно путем перечисления чисел, определяющих циклический порядок. Т.е. последовательно перечисляют номера элементов в которые переходит первый элемент при перестановке. Например:

Классы перестановок.

Все перестановки можно разделить на классы сопряженных элементов. Перестановки с одной структурой цикла принадлежат к одному классу. Группа S(3) содержит 6 перестановок: (1 2 3), (1 3 2), (1 2)(3), (1 3)(2), (2 3)(1) и (1)(2)(3). Первые две перестановки образуют класс, три последующие – еще один класс и последняя сама образует класс. Если перестановка степени n из данного класса представлена в виде a циклов степени p, b циклов степени q, c циклов степени r и т.д., то a·p + b·q + c·r + . . . = n. Число перестановок в классе (порядок класса g_i) равно:

Например в группе S(4) возможны перестановки типов: (1234), (123)(4), (12)(34), (12)(3)(4), (1)(2)(3)(4).

Для класса (1234) имеем перестановок.

Для перестановки (123)(4) имеем классов.

Для перестановки (12)(34) имеем класса.

Для перестановки (12)(3)(4) имеем классов

Для перестановки (1)(2)(3)(4) имеем класс .

Симметрическая группа, как и любая другая группа, обладает неприводимыми представлениями. Построить неприводимые представления можно при помощи диаграмм Юнга. Диаграмма Юнга, соответствующая данному классу, строится как набор упорядоченных блоков или точек, изображающих циклическую структуру класса. Причем самый длинный цикл располагается в верхней части. Например, для классов группы S(4) имеем следующий набор диаграмм Юнга.

(1234) :					=	   	:	(4)
(123)(4) :					=	   	:	(3,1)
						
(12)(34) :					=	 	:	(2,2)=(22)
						 
(12)(3)(4) :					=	 	:	(2,1,1)=(2,12)
						
						
(1)(2)(3)(4) :					=		:	(1,1,1,1)=(14)
						
						
						

Каждому классу соответствует сопряженный класс. Для получения сопряженного класса в диаграмме Юнга нужно строки и столбцы поменять местами. Так в группе S(4) для класса (1⁴) сопряженным является класс (4), (2,1²) – (3,1), класс (2²) сопряжен сам с собой. Каждый сопряженный класс определяет соответствующее неприводимое представление. Сопряженный класс записывается в квадратных скобках. Для группы S(4) имеется 5 сопряженных классов [4], [3,1], [2²], [2,1²] и [1⁴].

Для вычисления характеров неприводимых представлений можно использовать хук-диаграммы, получаемые из диаграмм Юнга. Хук-диаграмма это ряд чисел, упорядоченных по аналогии с диаграммой Юнга. Каждый элемент хук-диаграммы равен числу блоков, находящихся справа от него и под ним, плюс единица. Например, хук-диаграммы для неприводимых представлений группы S(4) имеют вид:

[4]							4 3 2 1	[2,12]							4 1
															2
															1
[3,1]							4 2 1	[14]							4
							1								3
															2
[22]							3 2								1
							2 1

Процедура получения характеров состоит в установлении связи между циклами рассматриваемого класса и главными хук-длинами хук-диаграммы, отвечающей данному классу. Главные хук-длины – числа в первом столбце хук-диаграммы. При получении характеров последовательно вычитаются из главных хук-длин длины циклов класса всеми возможными способами до тех пор, пока не будут исчерпаны длины всех циклов. При этом отбрасываются множества, содержащие отрицательные числа или одно и то же число дважды.

Рассмотрим характер класса (2,1²) в представлении [2²]. Главные хук-длины для представления [2²] равны 3 и 2. Поэтому имеем:

Циклы класса Главные хук-длины представления

2,1² = 2,1,1 3 2

Вычитая 2(длина первого цикла) всеми возможными способами, получим

1 2 + 3 0

Из полученных двух наборов чисел вычтем 1 - длину второго цикла.

Получим 0 2 + 1 1 +2 0 +3 -1

Из полученных 4-х наборов чисел два исключаются (1 1 - повтряются числа и 3 -1 - отрицательное число). Остаются два набора :

0 2 + 2 0

Вычитаем 1 – длину последнего цикла.

Получим 0 1 + 1 0 .

В итоге получили два набора, состоящие из одних и тех же чисел. Т.о. если у нас есть р главных хук-длин, то окончательный результат последовательных вычитаний содержит только наборы, содержащие числа (р-1) (р-2) . . . 0.Для определения характера класса используется следующие правила. Если в каком-либо наборе числа расположены в порядке убывания, то вклад в характер класса от этого набора чисел всегда равен +1. Если числа в наборе не упорядочены по убыванию, то вклад в характер от этого набора равен +1 или –1 в зависимости от того, четное или нечетное количество транспозиций необходимо для их упорядочивания.

В нашем примере получено два набора из двух чисел. В первом ноборе числа 0 и 1 расположены по возрастанию. Для того, чтобы их упорядочить в порядке убывания требуется всего одна транспозиция. Следовательно вклад в характер от этого набора равен –1. Во втором наборе числа расположены по убыванию и вклад в характер класса от этого набора равен +1. В итоге характер класса (2,1²) в представлении [2²] равен:

(2,1²) = -1 + 1 = 0

Характеры других классов в представлении [2²].

(1⁴) = (Е) 1⁴ : 3 2

1³ : 3 1

1² : 2 1 + 3 0

1¹ : 2 0 + 2 0

0 : 1 0 + 1 0

(1⁴) = 1+1=2

(2²) 2² : 3 2

2 : 1 2 + 3 0

0 : 1 0 + 1 0

(2²) = 1+1=2

(3,1) 3,¹ : 3 2

1 : 0 2

0 : 0 1

(3,1) = -1

(4 ) 4 : 3 2

0 : 0

(4) = 0

В результате получены характеры всех классов в представлении [2²]:

S(4)	(14)	6(2,12)	3(22)	8(3,1)	6(4)
[22]	2	0	2	-1	0

[Получить характеры остальных представлений в группе S(4) и показать, что группа S(4) изоморфна группе T_d