Обозначения представлений.

Обозначения неприводимых представлений введены Малликеном в 1933г. Одномерные представления обозначаются буквами A или B, двумерные – Е, трехмерные – Т (иногда F). Представления более высокой размерности - буквами G, H и т.д. Представление А симметрично относительно главной оси, В – антисимметрично. Индексы 1 и 2 в представлениях А и В означают симметричное или антисимметричное поведение относительно осей С₂, перпендикулярных к главной оси и к плоскостям _v и _d, соответственно. Индексы g или u - четное или нечетное поведение относительно операции инверсии. Если в группе есть плоскость _h, то один штрих означает симметричное, а два штриха – антисимметричное поведение относительно _h.

Лекция 8 – 9.

Некоторые специальные группы.

Группа R(3).

R(3) – определена только математически; состоит из операции Е и осей С(), описывающих поворот на угол  вокруг произвольной оси.

Неприводимые представления обозначаются как D^(l), где l принимает целые значения (0,1,2,3, ….) или полуцелые (1/2, 3/2, 5/2, .…).

Характеры представлений:

а) Е – (2l + 1);

б) С() –

целые l; (C()) = e⁰ + e^i + e^-i + e^i2 + e^-i2 +. . .+ e^il + e^-il =

1 + 2cos() + 2cos(2) +. . . + 2cos(l).

полуцелые l; (C()) = e^i/2 + e^-i/2 + e^i3/2 + e^-i3/2 +. . .+ e^il + e^-il =

2cos(/2) + 2cos(3/2) +. . . + 2cos(l).

Таблица характеров группы R(3).

R(3)	E	C()
D(0)	1	1
D(1)	3	1+ 2cos()
D(2)	5	1+ 2cos() + 2cos(2)
D(3)	7	1+ 2cos() + 2cos(2) + 2cos(3)
……	……	…….
D(l)	2l + 1	1+ 2cos() + 2cos(2) +. . . + 2cos(l)
D(1/2)	2	2cos(/2)
D(3/2)	4	2cos(/2) + 2cos(3/2)
D(5/2)	6	2cos(/2) + 2cos(3/2) + 2cos(5/2)
……	…….	……..
D(l)	2l + 1	2cos(/2) + 2cos(3/2) +. . . + 2cos(l)

Рассмотрим произведение неприводимых представлений группы R(3)

D⁽⁰⁾D^(l) = D^(l)

D⁽¹⁾D⁽¹⁾: (E)=9; (C())= (1+2cos())² = 1 + 4cos() + 4cos²() =

1 + 4cos() +2 + 2cos(2) = 3 + 4cos() + 2cos(2) =

1 + [1+2cos()] + [1 + 2cos() + 2cos(2)]

Т.о. D⁽¹⁾D⁽¹⁾ = D⁽⁰⁾ + D⁽¹⁾ + D⁽²⁾.

Аналогично: D⁽¹⁾D⁽²⁾ = D⁽¹⁾ + D⁽²⁾ + D⁽³⁾; D⁽¹⁾D^(1/2) = D^(1/2) + D^(3/2);

D⁽¹⁾D^(3/2) = D^(1/2) + D^(3/2) + D^(5/2).

Следовательно: D^(J)D^(K) = D^J-K + D^J-K+1 + . . . + D^J+K.

Группа R_h(3) – группа поворотов и отражений.

Получается как R_h(3) = R(3)  C_i. Добавляются операции симметрии: i, S() и . Характеры для S() при целых l определяются по соотношению:

( S()) = (1-2cos()+2cos(2)+. . . + (-1)^l 2cos(l)).

Для полуцелых l определяются как:

( S()) = (2sin(/2)-2sin(3/2)+. . . + (-1)^k 2sin(l)), k = l +1/2.

Знак + или – перед формулами для ( S()) зависит от знака при значении характера для операции инверсии (i); при четном i знак +, при нечетном i знак – .

Для операций симметрии i и  характер определяется из ( S()); i - =;  -=0. Неприводимые представления обозначаются как D_g^(l) и D_u^(l) – четные или нечетные относительно инверсии.

Таблица характеров группы R_h(3).

Rh(3)	E	C()	i	S()	
Dg(0)	1	1	1	1	1
Dg(1)	3	1+ 2cos()	3	1- 2cos()	-1
Dg(2)	5	1+ 2cos() + 2cos(2)	5	1- 2cos() + 2cos(2)	1
……	……	…….	……	…….	..
Dg(l)	2l + 1	1+ 2cos() + 2cos(2) + . . . + 2cos(l)	2l + 1	2cos() + 2cos(2) – . . . + (-1)l 2cos(l)	(-1)l
Du(0)	1	1	-1	-1	-1
Du(1)	3	1+ 2cos()	-3	-1+2cos()	1
Du(2)	5	1+ 2cos() + 2cos(2)	-5	-1+2cos() - 2cos(2)	-1
……	…….	……..	……	…….	..
Du(l)	2l + 1	1+ 2cos() + 2cos(2) + . . . + 2cos(l)	-(2l + 1)	-1 +2cos() - 2cos(2) + . . . _ (-1)l 2cos(l)	-(-1)l

Для полуцелых l можно получить аналогичную таблицу.

Правило разложения произведения неприводимых представлений такое же как и для группы R(3). При этом нужно учитывать, что gu=ug=u и gg=uu=g.