
- •Метод проекционных операторов.
- •Характеры группы d4.
- •Обозначения представлений.
- •Редукция по симметрии.
- •Симметрическая группа перестановок.
- •Классы перестановок.
- •Лекция 10.
- •Атомы и линейные молекулы.
- •Лекция 11.
- •Линейные молекулы.
- •Теория кристаллического поля.
- •Правила отбора.
- •Правила отбора в электронном спектре.
Лекция 7.
Редукция приводимых представлений.
В приложениях теории групп часто возникают приводимые представления, которые необходимо представить в виде суммы неприводимых. Во многих случаях редукция осуществляется непосредвенно подбором неприводимых представлений, дающих в сумме приводимое. Однако имеется и систематическая процедура приведения. Эта процедура основана на том, что неприводимые представления образуют систему взаимонезависимых, ортогональных векторов. Используя нормировочный множитель n-1/2 (n – порядок группы) условие ортогональности можно записать в виде выражения:
Суммирование проводится по всем элементам симметрии; i – характер элемента симметрии в - или -ом неприводимом представлении. При суммировании по классам получается следующее соотношение:
где ni – порядок i-го класса; k – число классов в группе. Если в этих соотношениях вместо неприводимого представления Г использовать приводимое представление Г, то результат будет равен нулю, если Г не входит в приводимое представление Г. Если Г входит в приводимое представление Г, то в результате получим число, равное кратности вхождения -го неприводимого представления в приводимое. Это число можно определить по формуле:
В качестве примера рассмотрим группу C6v и перемножим характеры представлений E1 и E2. Полученное при перемножении приводимое представление представим затем в виде суммы неприводимых представлений.
C6v |
E |
2C6 |
2C3 |
C2 |
3v |
3d |
E1 |
2 |
1 |
-1 |
-2 |
0 |
0 |
E2 |
2 |
-1 |
-1 |
2 |
0 |
0 |
E1E2 |
4 |
-1 |
1 |
-4 |
0 |
0 |
Характеры остальных представлений в группе |
||||||
A1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
A2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
-1 |
-1 |
B1 |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
B2 |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
-1 |
1 |
Редукция приводимого представления E1E2.
aA1=1/12[1·1·4 + 2·1·(-1) + 2·1·1 + 1·1·(-4) + 0 + 0] = 1/12[4-2+2-4] = 0
aA2=1/12[1·1·4 + 2·1·(-1) + 2·1·1 + 1·1·(-4) + 0 + 0] = 1/12[4-2+2-4] = 0
aB1=1/12[1·1·4 + 2·(-1)·(-1) + 2·1·1 + 1·(-1)·(-4) + 0 + 0] = 1/12[4+2+2+4] = 1
aB2=1/12[1·1·4 + 2·(-1)·(-1) + 2·1·1 + 1·(-1)·(-4) + 0 + 0] = 1/12[4+2+2+4] = 1
aE1=1/12[1·2·4 + 2·(-1)·1 + 2·(-1)·1 + 1·(-2)·(-4) + 0 + 0] = 1/12[8-2-2+8] = 1
aE2=1/12[1·2·4 + 2·(-1)·(-1) + 2·(-1)·1 + 1·2·(-4) + 0 + 0] = 1/12[8+2-2-8] = 0
Таким образом: E1E2 = B1 + B2 + E1.
Метод проекционных операторов.
Часто требуется построение функций преобразующихся по определенному неприводимому представлению. Такая процедура применяется, например, при постороении нормальных колебательных мод, молекулярных орбиталей с определенной симметрией и т.д. Наиболее систематическая процедура построения таких функций опирается на метод проекционных операторов.
При воздействии проекционного оператора на функцию возникает функция, соответствующая определенному неприводимому представлению группы. Т.е.
f - функция, соответствующая -му неприводимому представлению;
n - размерность -го неприводимого представления;
n - порядок группы;
f - исходная функция;
P - проекционный оператор, соответствующий -му неприводимому
представлению;
P
определяется в виде суммы:
где
характер
операции симметрии R
в -ом
неприводимом представлении; сумма по
всем операциям. Т.о.
где произведение Rf
– определяет новую функцию fR
- результат действия операции симметрии
R
на исходную функцию f.
В итоге получаем
Однако, если функция f не принадлежит к данному неприводимому представлению, то результат действия проекционного оператора равен нулю.
Для того, чтобы получить функцию с заданной симметрией необходимо знать характеры группы и то как преобразуется функция по отношению к различным операциям симметрии группы.
Рассмотрим проектирование функций от x и y для разных представлений группы D4.
Операции симметрии группы D4 изображены ниже на рис.
Р
езультат
действия операций симметрии группы D4
на функции x,
y,
x2,
y2
и xy.
D4 |
|
2C4 |
|
2C2' |
2 C2" |
|||
|
E |
C4 |
C43 |
C2z |
C2'x |
C2'y |
C2"(xy) |
C2"(-xy) |
x |
x |
y |
-y |
-x |
x |
-x |
y |
-y |
y |
y |
-x |
x |
-y |
-y |
y |
x |
-x |
x2 |
x2 |
y2 |
y2 |
x2 |
x2 |
x2 |
y2 |
y2 |
y2 |
y2 |
x2 |
x2 |
y2 |
y2 |
y2 |
x2 |
x2 |
xy |
xy |
-xy |
-xy |
xy |
-xy |
-xy |
xy |
xy |
Характеры группы d4.
D4 |
E |
2C4 |
C2z |
2C2' |
2 C2" |
A1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
A2 |
1 |
1 |
1 |
-1 |
-1 |
B1 |
1 |
-1 |
1 |
1 |
-1 |
B2 |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
1 |
E |
2 |
0 |
-2 |
0 |
0 |
Построим функции симметрии А1 их Х
РA1(х)=1/8[1·x+1·y+1· (-y)+1· (-x)+1·x+1· (-x)+1·y+1· (-y)]=0
Т.о. функция х не принадлежит представлению А1.
РE(х)=2/8[2·x+0·y+0· (-y)+(-2)· (-x)+0·x+0· (-x)+0·y+0· (-y)]=
2/8·4x=x
РA1(х2)= . . . =1/2(x2+y2)
РB1(х2)= . . . =1/2(x2-y2)
Спроецируем полином x2+2xy+y2 на представление B2. Проецируется каждое слагаемое и затем результаты суммируем.
РB2(х2)= . . . =0
РB2(2хy)= . . . =2xy
РB2(y2)= . . . =0
Т. о. РB2(x2+2хy+y2) = . . . = 2xy