Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
SYM-LEC1.DOC
Скачиваний:
3
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
467.97 Кб
Скачать

41

Лекция 7.

Редукция приводимых представлений.

В приложениях теории групп часто возникают приводимые представления, которые необходимо представить в виде суммы неприводимых. Во многих случаях редукция осуществляется непосредвенно подбором неприводимых представлений, дающих в сумме приводимое. Однако имеется и систематическая процедура приведения. Эта процедура основана на том, что неприводимые представления образуют систему взаимонезависимых, ортогональных векторов. Используя нормировочный множитель n-1/2 (n – порядок группы) условие ортогональности можно записать в виде выражения:

Суммирование проводится по всем элементам симметрии; i – характер элемента симметрии в - или -ом неприводимом представлении. При суммировании по классам получается следующее соотношение:

где ni – порядок i-го класса; k – число классов в группе. Если в этих соотношениях вместо неприводимого представления Г использовать приводимое представление Г, то результат будет равен нулю, если Г не входит в приводимое представление Г. Если Г входит в приводимое представление Г, то в результате получим число, равное кратности вхождения -го неприводимого представления в приводимое. Это число можно определить по формуле:

В качестве примера рассмотрим группу C6v и перемножим характеры представлений E1 и E2. Полученное при перемножении приводимое представление представим затем в виде суммы неприводимых представлений.

C6v

E

2C6

2C3

C2

3v

3d

E1

2

1

-1

-2

0

0

E2

2

-1

-1

2

0

0

E1E2

4

-1

1

-4

0

0

Характеры остальных представлений в группе

A1

1

1

1

1

1

1

A2

1

1

1

1

-1

-1

B1

1

-1

1

-1

1

-1

B2

1

-1

1

-1

-1

1

Редукция приводимого представления E1E2.

aA1=1/12[1·1·4 + 2·1·(-1) + 2·1·1 + 1·1·(-4) + 0 + 0] = 1/12[4-2+2-4] = 0

aA2=1/12[1·1·4 + 2·1·(-1) + 2·1·1 + 1·1·(-4) + 0 + 0] = 1/12[4-2+2-4] = 0

aB1=1/12[1·1·4 + 2·(-1)·(-1) + 2·1·1 + 1·(-1)·(-4) + 0 + 0] = 1/12[4+2+2+4] = 1

aB2=1/12[1·1·4 + 2·(-1)·(-1) + 2·1·1 + 1·(-1)·(-4) + 0 + 0] = 1/12[4+2+2+4] = 1

aE1=1/12[1·2·4 + 2·(-1)·1 + 2·(-1)·1 + 1·(-2)·(-4) + 0 + 0] = 1/12[8-2-2+8] = 1

aE2=1/12[1·2·4 + 2·(-1)·(-1) + 2·(-1)·1 + 1·2·(-4) + 0 + 0] = 1/12[8+2-2-8] = 0

Таким образом: E1E2 = B1 + B2 + E1.

Метод проекционных операторов.

Часто требуется построение функций преобразующихся по определенному неприводимому представлению. Такая процедура применяется, например, при постороении нормальных колебательных мод, молекулярных орбиталей с определенной симметрией и т.д. Наиболее систематическая процедура построения таких функций опирается на метод проекционных операторов.

При воздействии проекционного оператора на функцию возникает функция, соответствующая определенному неприводимому представлению группы. Т.е.

f - функция, соответствующая -му неприводимому представлению;

n - размерность -го неприводимого представления;

n - порядок группы;

f - исходная функция;

P - проекционный оператор, соответствующий -му неприводимому

представлению;

P определяется в виде суммы: где характер операции симметрии R в -ом неприводимом представлении; сумма по всем операциям. Т.о. где произведение Rf – определяет новую функцию fR - результат действия операции симметрии R на исходную функцию f. В итоге получаем

Однако, если функция f не принадлежит к данному неприводимому представлению, то результат действия проекционного оператора равен нулю.

Для того, чтобы получить функцию с заданной симметрией необходимо знать характеры группы и то как преобразуется функция по отношению к различным операциям симметрии группы.

Рассмотрим проектирование функций от x и y для разных представлений группы D4.

Операции симметрии группы D4 изображены ниже на рис.

Р езультат действия операций симметрии группы D4 на функции x, y, x2, y2 и xy.

D4

2C4

2C2'

2 C2"

E

C4

C43

C2z

C2'x

C2'y

C2"(xy)

C2"(-xy)

x

x

y

-y

-x

x

-x

y

-y

y

y

-x

x

-y

-y

y

x

-x

x2

x2

y2

y2

x2

x2

x2

y2

y2

y2

y2

x2

x2

y2

y2

y2

x2

x2

xy

xy

-xy

-xy

xy

-xy

-xy

xy

xy

Характеры группы d4.

D4

E

2C4

C2z

2C2'

2 C2"

A1

1

1

1

1

1

A2

1

1

1

-1

-1

B1

1

-1

1

1

-1

B2

1

-1

1

-1

1

E

2

0

-2

0

0

Построим функции симметрии А1 их Х

РA1(х)=1/8[1·x+1·y+1· (-y)+1· (-x)+1·x+1· (-x)+1·y+1· (-y)]=0

Т.о. функция х не принадлежит представлению А1.

РE(х)=2/8[2·x+0·y+0· (-y)+(-2)· (-x)+0·x+0· (-x)+0·y+0· (-y)]=

2/8·4x=x

РA12)= . . . =1/2(x2+y2)

РB12)= . . . =1/2(x2-y2)

Спроецируем полином x2+2xy+y2 на представление B2. Проецируется каждое слагаемое и затем результаты суммируем.

РB22)= . . . =0

РB2(2хy)= . . . =2xy

РB2(y2)= . . . =0

Т. о. РB2(x2+2хy+y2) = . . . = 2xy

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]