Построение таблиц характеров.

Неприводимые представления и характеры циклических точечных групп можно построить непосредственно, руководствуясь следующими правилами:

1. Для групп C_n при четном n существует представление A и B (одномерные) и множество двумерных представлений E_k с k=1,2,. . ., (n/2)-1.

2. Если n нечетное, то представления B не существует, а индекс k для E_k принимает значения k=1,2,. . ., (n-1)/2.

Характеры для пар вырожденных представлений E_k равны e^(2i/n)jk и e^(-2i/n)jk , где k - индекс E_k, а j определяется элементом симметрии C_n ^j .

3. Характеры представлении A и B можно получить как особые случаи E_k с k=0 или (n/2), соответственно. Т.о. представление A - полносимметричное с характерами =1. Поскольку e^(2i/n)0 = e⁰=1. Для B имеем

e^{(2i/n)jn/2} = e^ji = cos(j) - isin(j) = cos(j) , т.к. sin(j)=0 и т.о.

(B)= cos(j)=1 ( +1 при четных j и -1 при нечетных j).

Например, для группы C₃ имеем представления A и E₁ или просто E и таблицу характеров.

С3	E	C3	C3 2
A	1	1	1
E

e^4i/3= e^-2i/3; e^-4i/3= e^2i/3; т.к. 4/3=240^о=-2/3=-120^о.

Действительное представление получается при использовании формулы Ейлера:

₊ ^- .

Таким образом для C₃ получим.

С3	E	C3	C3 2
A	1	1	1
Eкомпл.
1+2	2	2cos(2/3)	2cos(2/3)
Eдействит.	2	-1	-1

Рассмотрим группу C₆:

В соответствии с правилами 1-3 имеем представления A, B, E₁ и E₂ и обозначая e^2i/6=, а комплексносопряженную как ^* получим следующую таблицу характеров:

С6	E	C6	C6 2 =C3	C63 =C2	C64 =C32	C65
A	1	1	1	1	1	1
B	1	-1	1	-1	1	-1
E1
E2

Учитывая, что ^*=cos(60^o)+isin(60^o) и

²=cos(120^o)-isin(120^o)=-cos(60^o)-isin(60^o)=-(cos(60^o)+isin(60^o))=-^* и т.д. таблицу характеров можно записать в виде:

С6	E	C6	C3	C2	C3 2	C65
A	1	1	1	1	1	1
B	1	-1	1	-1	1	-1
E1
E2

В действительном виде таблица характеров запишется как:

С6	E	2C6	2C3	C2
A	1	1	1	1
B	1	-1	1	-1
E1	2	1	-1	-2
E2	2	-1	-1	2

Таблицы характеров остальных подгрупп можно построить из прямого или полупрямого произведения подгрупп. Рассмотрим процедуру построения, например, для группы D_2h=D₂C_s. На первом этапе используя операции симметрии подгрупп находим операции симметрии группы и это отобразим в виде таблицы (1)

	D2
Cs	E	C2z	C2y	C2x
E	E	C2z	C2y	C2x
xy	xy	i	yz	xz

(1)

Т. о. для группы D_2h имеем 8 операций симметрии. Можно, показать, что каждая из них образует отдельный класс.

На втором этапе зная представления подгрупп получим таблицу произведений неприводимых представлений подгрупп (2):

	D2
Cs	A1	B1	B2	B3
A	AA1	AB1	AB2	AB3
A	AA1	AB1	AB2	AB3

(2)

Cs	E	xy
A	1	1
A	1	-1

В таблице (2) получено 8 представлений группы. Число представлений равно числу классов группы. Следовательно все эти представления - неприводимые. Для нахождения характеров неприводимых представлений группы нужно знать таблицы характеров неприводимых представлений подгрупп.

D2	E	C2z	C2y	C2x
A1	1	1	1	1
B1	1	1	-1	-1
B2	1	-1	1	-1
B3	1	-1	-1	1

На третьем этапе для каждой пары из табл. 2 найдем произведения характеров соответствующих неприводимых представлений подгрупп и результаты представим в виде 8-ми таблиц похожих по форме на табл. 1.

		D2								D2
Cs		E		C2z		C2y	C2x		Cs	E	C2z	C2y	C2x
		A1						(3)		A1				(7)
	A	1	1		1		1		A	1	1	1	1
E	1	1	1		1		1		1	1	1	1	1
xy	1	1	1		1		1		-1	-1	-1	-1	-1

		D2								D2
Cs		E		C2z		C2y	C2x		Cs	E	C2z	C2y	C2x
		B1						(4)		B1				(8)
	A	1	1		-1		-1		A	1	1	-1	-1
E	1	1	1		-1		-1		1	1	1	-1	-1
xy	1	1	1		-1		-1		-1	-1	-1	1	1

		D2								D2
Cs		E		C2z		C2y	C2x		Cs	E	C2z	C2y	C2x
		B2						(5)		B2				(9)
	A	1	-1		1		-1		A	1	-1	1	-1
E	1	1	-1		1		-1		1	1	-1	1	-1
xy	1	1	-1		1		-1		-1	-1	1	-1	1

		D2								D2
Cs		E		C2z		C2y	C2x		Cs	E	C2z	C2y	C2x
		B3						(6)		B3				(10)
	A	1	-1		-1		1		A	1	-1	-1	1
E	1	1	-1		-1		1		1	1	-1	-1	1
xy	1	1	-1		-1		1		-1	-1	1	1	-1

Значения характеров в ячейках табл. 3-10 соответствуют элементам симметрии размещенным в аналогичных ячейках табл. 1.

Таблицы 3-10 можно объединить в одну таблицу характеров группы D_2h. При этом для обозначения произведений представлений в табл. 2 используются определенные правила, которые будут разобраны нами на следующих занятиях.

Таблица характеров для группы D_2h.

D2h	E	C2z	C2y	C2x	xy	i	yz	xz
Ag	1	1	1	1	1	1	1	1
B1g	1	1	-1	-1	1	1	-1	-1
B2u	1	-1	1	-1	1	-1	1	-1
B3u	1	-1	-1	1	1	-1	-1	1
Au	1	1	1	1	-1	-1	-1	-1
B1u	1	1	-1	-1	-1	-1	1	1
B2g	1	-1	1	-1	-1	1	-1	1
B3g	1	-1	-1	1	-1	1	1	-1

В случае полупрямого произведения процедура построения таблицы характеров несколько усложняется. Рассмотрим группу C_3v=C₃^C_s. Найдем операции симметрии группы (табл. 11):

	Cs
C3	E	v
E	E	v
C3	C3	v
C32	C32	v

(11)

Если по вертикали записаны элементы симметрии инвариантной подгруппы, то столбцы будут содержать классы группы. Для группы C_3v имеем 3 класса {E, 2C₃, 3_v }и, следовательно, должно быть 3 неприводимых представления. Составим таблицу произведения неприводимых представлений подгрупп.

	Cs
С3	A	A
A	AA	AA	(12)
E

В табл. 12 есть 6 пар произведений, но в группе С_3v должно быть только три неприводимых представления. При этом нужно учесть, что произведения полносимметричного представления (А) группы C_3v дают всегда неприводимые представления. Т.о. произведения AA и AA в табл. 12 - два неприводимых представления. Очевидно, 4 оставшихся являются зависимыми.

Получим характеры представлений.

AA		Сs				AA	Сs
С3		E	v				E	v
		A					A
	A	1	1			A	1	-1
E	1	1	1		(13)	1	1	-1	(14)
С3	1	1	1			1	1	-1
C32	1	1	1			1	1	-1

E(1)A		Сs				E(1)A	Сs
С3		E	v				E	v
		A					A
	E(1)	1	1			E(1)	1	-1
E	1	1	1		(15)	1	1	-1	(16)
С3								-
C32	*	*	*			*	*	-*

E(2)A		Сs				E(2)A	Сs
С3		E	v				E	v
		A					A
	E(2)	1	1			E(2)	1	-1
E	1	1	1		(17)	1	1	-1	(18)
С3	*	*	*			*	*	-*
C32								-

Для нахождения третьего представления проведем усреднение характеров элементов по классам для каждого из 4-х зависимых представлений. Получим:

	E	2C3	3v		E	2C3	3v
E(1)A	1	(+*)/2	(1++*)/3	E(1)A	1	(+*)/2	-(1++*)/3
	(1	-1/2	0)		(1	-1/2	0)
E(2)A	1	(*+)/2	(1+*+)/3	E(2)A	1	(*+)/2	-(1+*+)/3
	(1	-1/2	0)		(1	-1/2	0)
Cумма	2	-1	0	Cумма	2	-1	0

Т.о. получены два совершенно одинаковых представления и это будет в группе C_3v - третье представление. Таблица характеров будет выглядеть следующим образом:

C3v	E	2C3	3v
A1	1	1	1
A2	1	1	-1
E	2	-1	0

Таблица характеров для группы T_d.

T_d = D₂ ^ C_3v

Элементы симметрии группы T_d.

	C3v
D2	E	2C3	3v
E	E	2C3	3d
C2z	C2z	2C3	3d
C2y	C2y	2C3	3S4
C2x	C2x	2C3	3S4

_v - в тетраэдре соответствует _d.

Т.о. имеется 5 классов T_d={E, 3C₂, 8C₃, 6_d, 6S₄}.

Таблица произведений представлений:

	C3v
D2	A1	A2	E
A1	A1A1	A1A2	A1E
B1	B1A1	B1A2	B1E
B2	B2A1	B2A2	B2E
B3	B3A1	B3A2	B3E

Произведения A₁A₁, A₁A₂, A₁E образуют три неприводимых представления.

Остальные 9 - зависимые и из нужно получить еще два неприводимых представления. Для нахождения этих представлений построим таблицу произведений характеров соответствующих неприводимых представлений подгрупп.

		C3v
		A1			A2			E
D2		E	2C3	3v	E	2C3	3v	E	2C3	3v
		1	1	1	1	1	-1	2	-1	0
B1	1	1	1	1	1	1	-1	2	-1	0
	1	1	1	1	1	1	-1	2	-1	0
	-1	-1	-1	-1	-1	-1	1	-2	1	0
	-1	-1	-1	-1	-1	-1	1	-2	1	0
B2	1	1	1	1	1	1	-1	2	-1	0
	-1	-1	-1	-1	-1	-1	1	-2	1	0
	1	1	1	1	1	1	-1	2	-1	0
	-1	-1	-1	-1	-1	-1	1	-2	1	0
B3	1	1	1	1	1	1	-1	2	-1	0
	-1	-1	-1	-1	-1	-1	1	-2	1	0
	-1	-1	-1	-1	-1	-1	1	-2	1	0
	1	1	1	1	1	1	-1	2	-1	0

Одинаковым фоном выделены характеры элементов симметрии, относящиеся к одному классу группы T_d.

Просуммируем для зависимых представлений характеры по классам элементов симметрии (классы в табл. выделены одним фоном) и усредним. В результате получим:

	E	3C2	8C3	6d	6S4
B1A1	(1) 1	(1-1-1)/3 -1/3	(1+1-1-1)/4 0	(1+1)/2 1	(-1-1)/2 -1
B2A1	1	-1/3	0	0	0
B3A1	1	-1/3	0	0	0
	3	-1	0	1	-1
B1A2	1	-1/3	0	-1	1
B2A2	1	-1/3	0	0	0
B3A2	1	-1/3	0	0	0
	3	-1	0	-1	1
B1E	2	-2/3	0	0	0
B2E	2	-2/3	0	0	0
B3E	2	-2/3	0	0	0
	6	-2	0	0	0

Последнее представление - сумма двух первых представлений. Т.о в группе T_d имеется еще два независимых неприводимых трехмерных представления T₁ и T₂.