Классификация точечных групп.

Элементы симметрии любой точечной группы можно получить из генераторов группы. Генераторами могут быть любые из 4-х элементов симметрии (C_n,  , i, S_n). По крайней мере трех из них достаточно для описании симметрии любой молекулярной системы. Систематическую классификацию систем по отвечающим им точечным группам можно провести на основе генераторов.

Если задан только один элемент симметрии, то он уже определяет точечную группу:

 - группа C_s или S₁.

i - C_i или S₂.

E - специальный случай, группа C₁.

C_n - обозначаются как и оси. Эти группы часто называют аксиальными.

S_n - обозначаются как и зеркально-поворотные оси. Определены только для четных n.

Все остальные точечные группы порождены более, чем одним генератором. Аксиальные точечные группы являются подгруппами этих групп.

Системы только с одной осью C_n обладают не более, чем одним дополнительным генератором. Эти генератором может быть только плоскость симметрии. В зависимости от типа плоскости _v или _h получаем два типа групп: C_nv или C_nh.

У групп, имеющих более одной оси дополнительными могут быть только оси C₂ , перпендикулярные главной оси C_n. Одну из этих осей можно выбрать в качестве генератора, используемого вместе с главной осью C_n. Группы имеющие два генератора C_n и C₂ обозначаются D_n.

Группы, имеющие дополнительно к осям C_n и C₂, еще один генератор - плоскость _h ( перпендикулярна главной оси) или _d (биссектриальная между осями C₂ ) - обозначаются как D_nh или D_nd, соответственно.

Тетраэдрические группы.

Группа T - генераторы оси C₃ и C₂. Ось C₃ совпадает с диагональю куба, а ось C₂ проходит через центры противоположных граней куба. Оси C₃ и C₂ не являются взаимно-перпендикулярными.

Группа T_d получается из группы T при введении еще одного генератора S₄. Так как S₄² =C₂, то для построения операций симметрии достаточно двух генераторов C₃ и S₄.

Группа T_h получается из группы T при введении еще одного генератора i. Т.е. генераторы оси C₃, C₂ и инверсия i.

Октаэдрические группы.

Группа O - генераторы оси C₃ и C₄. Ось C₃ совпадает с диагональю куба, а ось C₄ проходит через центры противоположных граней куба. Оси C₃ и C₄ не являются взаимно-перпендикулярными.

Группа O_h получается из группы O при введении еще одного генератора i. Т.е. генераторы оси C₃, C₄ и инверсия i.

Генераторы и обозначения групп можно кратко представить в виде таблицы 3.

Таблица 3.

Генераторы	Группа	Генераторы	Группа	Генераторы	Группа
{Cn}	Cn	{Cn, C2}	Dn	{C3xyz, S4z}	Td
{Sn}	Sn	{Cn, C2, d}	Dnd	{C3xyz,C2z,i}	Th
{Cn, v}	Cnv	{Cn, C2, h}	Dnh	{C3xyz, C4z}	O
{Cn, h}	Cnh	{C3xyz, C2z}	T	{C3xyz,C4z,i }	Oh

Рассмотрим на примере группы D_3d построение элементов симметрии на основе ее генераторов. Первым генератором является элемент C₃, образующий циклическую группу с элементами {E, C₃, C₃ ² }. Сначала формируется смежный класс циклической группы по отношению к одному из генераторов. В группе D_3d второй генератор - ось C₂. Смежным классом по отношению к нему являются три оси второго порядка:

{E, C₃, C₃ ² }С₂ = {С₂, C₂^', C₂"}.

Оси второго порядка повернуты относительно друг друга на 120^о. В результате получим расширенную подгруппу D₃ ({E, 2C₃, 3C₂}). Затем образуем смежный класс подгруппы D₃ по отношению к плоскости _d. Произведение подгруппы C₃ c _d дает 3 плоскости _d, расположенные друг относительно друга под углом 120^о. Произведение осей C₂ c _d дают элементы S₆, S₆ ³ (или S₂, или i ) и S₆⁵ . Это произведение можно проиллюстрировать на рисунке: