Дифракція електронів на двох щілинах. Квантово-механічний закон додавання імовірностей. Вектор стану

Розглянемо дослід К. Девіссона, Л. Джермера і Дж.П. Томсона. Схема дослі­ду зображена на рис. 2. Суть досліду полягала у наступному. Брався екран із системою двох однакових щілин, умовно пронумерованих як „перша” і „друга” щілини. Кожна з них може по команді експериментатора автоматично відкрива­тися або закриватися. Із джерела електрон потрапляє на екран з двома щілина­ми і після їх проходження реєструється детектором. Мета досліду полягає у перевірці справджування у даному випадку класичного закону додавання імовірностей.

Рис. 2. Дифракція електронів на двох щілинах.

Для досягнення нашої мети нам достатньо організувати реалізацію таких трьох частин досліду: перша – коли відкрита тільки перша щілина, друга – коли відкрита тільки друга щілина і, насамкінець, третя – коли відкриті обидві щіли­ни. Дослід проводиться з „поодинокими” електронами і багатократно повто­рюється.

Виявляється, що результат експерименту повністю суперечить «здоровому глузду»: ми зіткнулися з парадоксом, що

w≠w₁+w₂ . (2.1)

Тут w_i(x), і = 1, 2, – імовірності того, що електрон як корпускула проходить тільки через фіксовану i-тову щілину і потрапляє в точку x, w(x) – імовірність того, що електрон проходить через систему двох відкритих щілин і потрапляє в точку x. Підкреслимо, що при реалізації третьої частини досліду на екрані з детектором вимальовується інтерференційна картина, аналогічна до тієї, яку б ми отримували у досліді, коли б джерело електронів було б замінено на дже­рело відповідних хвиль. Це принципово важливе зауваження ми матимемо на увазі, коли спробуємо розгадати парадокс, з яким ми щойно зіткнулися. Пара­докс засвідчує, що класичний закон додавання імовірностей у нашому досліді порушується.

Належне пояснення експерименту з електронами вимагає розширення по­няття імовірності. Необхідне розширення буде спиратися на т.з. хвильовий ре­цепт підрахунку імовірностей w(x). Запровадимо у розгляд комплекснозначну величину таку, що w(x)=ψ^*(x)ψ(x)=|ψ(x)|². Комплекснозначну функцію ψ(x) не слід ототожнювати з реальною хвилею. Вона відіграватиме роль амплітуди імовірності. Її також називають хвильовою функцією.

Після щойно запровадженного припущення ми замість класичного закону додавання імовірностей введемо закон додавання амплітуд імовірностей:

ψ=ψ₁+ψ_{2 ,} (2.2)

де ψ_i – амплітуда імовірності того, що електрон потрапляє в детектор, після проходження i-тової щілини (i=1, 2). Тепер, повну імовірність w визначатиме не класичний, а квантовомеханічний закон додавання імовірностей:

. (2.3)

Тут δ= δ₁ – δ₂ – різниця фаз амплітуд імовірностей: адже

, (i=1, 2), (2.4)

. (2.5)

Як виявляється, саме цю інтерференційну картину ми і спостерігаємо експериментально, тобто, спостерігаємо картину, що одержується від квантово­ме­ха­ніч­но­­го, а не класичного закону додавання імовірностей. Новий квантовий закон пе­редба­чає наяв­ність у квантовомеханічній сумі імовірнос­тей інтер­ферен­ційного доданка . Такого доданку немає у класичному законі додавання імовірностей.

Цікавим є таке зауваження: вираз для квантовомеханічного закону додаван­ня імовірностей є ніщо інше, як узагальнення теореми косинусів: якщо ми маємо два вектори – і , то їх сумою є вектор , квадрат довжини якого

. (2.6)

Аналогія виразу для з виразом є, без сумніву, повною. Через це пра­вомірно амплітуду імовірності ψ (хвильову функцію ψ) вважати вектором ста­ну. В майбутніх лекціях ми побудуємо математичний апарат квантової механі­ки і тоді зрозуміємо, що стан квантової системи слід зіставляти з векторами деякого абстрактного лінійного простору, т. з. простору Ґільберта.

Ми завершили детальне обговорення та узагальнення експериментальних фактів, на які слід спиратися приймаючи перший основний постулат квантової механіки. Нагадаємо, цей постулат: стан системи у квантовій механіці задається хвильовою функцією ψ.

Якщо частинка рухається у тривимірному просторі, тоді хвильова функція у декартових координатах є комплекснозначною функцією просторових змінних x,y,z і часу t. Величина є густиною імовірності перебування частинки в околі точки (x, y, z) у момент часу t (М. Борн, 1926).

Отже, величина дорівнює імовірності знаходження частинки в об’ємі навколо точки (x, y, z) у момент часу t. Якщо проінтегрувати цю величину за всіма можливими значеннями x, y, z, ми отримаємо одиницю, тобто частинка знаходиться десь у просторі:

, (2.7)

де інтегрування відбувається по всьому об’єму V, у якому рухається частинка. Ця рівність має назву умови нормування хвильової функції. Надалі часто будемо вважати, що V є весь тривимірний простір R₃.