1.Стаціонарне рівняння Дірака

Якщо потенціали поля і не залежать від часу, то, як і у нереляти­вістській теорії, можна перейти до стаціонарного рівняння через підстановку

У результаті одержимо так зване стаціонарне рівняння Дірака

де хвильова функція залежить від сукупності просторових і спінових змінних, тобто .

2.Орбітальний момент кількості руху, повний момент кількості руху та спін електрона

У квантовій механіці ми знаємо твердження: фізична величина є інтегра­лом руху, тобто зберігається, якщо оператор цієї величини комутує з Ґамільто­ніа­ном. Ми переконалися, що у нерелятивістській теорії орбітальний момент кількості руху у випадку вільної частинки з Ґамільто­ніаном є інтегралом руху, тобто комутатор

Чи буде орбітальний момент кількості руху вільного електрона інтегралом руху у теорії Дірака? Який результат одержується, якщо обчислити комутатор оператора повного момента імпульсу електрона

,

з Ґамільтоніаном Дірака вільного електрона? Відповідь на ці питання да­ють такі два твердження.

Твердження 1. Комутатор

Твердження 2. Комутатор

На доведенні справедливості цих двох простих тверджень ми зупинимось у додатку до лекції, а зараз звернемо увагу на такі висновки:

1. У теорії Дірака оператор не комутує з Ґамільтоніаном , отже орбі­тальний момент кількості руху електрона не є інтегралом руху.

2. Оператор повного момента імпульсу електрона комутує з Ґаміль­тоніаном Дірака вільного електрона, тобто є інтегралом руху. Оператор – це оператор власного механічного моменту електрона, тобто його спін. Оскільки власні значення операторів , , дорівнюють , то власні значення опера­торів , , , тобто складових спінового моменту, рівні .

3. Теорія Дірака з одного боку послідовно об’єднала релятивістську та кванто­ву теорію, а з другого – при­род­нім чином привела до існування спіну електрона, отже, коректно описує частинки (електро­ни), для яких при вимірюванні проекції спіну одержуються значення .

3.Спектр енергії для вільної релятивістської частинки

Хвильова функція вільної частинки пропорційна до плоскої хвилі

тобто це є стан з певним значенням імпульса і вся його залежність від просторо­вих координат виражається функцією . Підстановка цієї функції у рів­нян­­ня Дірака дає

тут – вже є імпульсом частинки, а не оператором .

Надалі зручно виразити чотирьохкомпонентну функцію через дві двохком­по­нент­ні функції

,

за допомогою співвідношення

Якщо записати стаціонарне рівняння Дірака у вигляді (тобто через двохрядні матриці Паулі)

то безпосередньо видно, що функції і задовольняють систему двох матрич­них рівнянь

або

Відмінні від нуля розв’язки цієї системи будуть тільки при рівності нулеві її визначника:

Якщо розкрити цей визначник та скористатися рівністю

яку легко довести, якщо скористатися властивостями матриць Паулі, то знайдемо

Отже, корені цього рівняння

де

,

– звичний нам вираз енергії релятивістської частинки у теорії відносності.

Ми одержали спектр енергії для вільної релятивістської частинки. Двом знакам у виразі для відповідають два типи розв’язків рівняння Дірака для станів з різним знаком енергії в експоненті, що визначає залежність хвильової функції від часу:

Стани з від’ємною енергією слід розглядати як стани, що описують частинки з додатною енергією, але з протилежним зарядом. До цього висновку приходять при вивченні властивостей симетрії множини розв’язків Дірака. Ми не маємо можливості в наших лекціях детально обговорювати це важливе питання. Скажемо тільки, що у теорії квантованих полів, зокрема в теорії квантованого електронно-позитронного поля, труднощів з від’ємними рівнями енергії немає і вся теорія набуває рис послідовності і чіткості.