1. Предмет математики, її методи і звיязок з іншими науками. Основні періоди розвитку математики.

Математика – одна з найдавніших наук, зародилась на світанку цивілізації. Вона постійно збагачувалась, час від часу оновлювалась і все більше утверджувалась як засіб пізнання закономірностей навколишнього світу. Слово «математика» походить від грецького слова «matema», що в перекладі означає знання. Загальноприйнятого означення предмета математики немає. У минулому математику вважали наукою про вимірні величини або числа. Пізніше виникло означення математики як науки про нескінченні величини. У сучасний період під математикою розуміють науку про нескінченні математичні структури. Інакше кажучи, математика вивчає поняття, одержані шляхом абстракцій від явищ реального світу, а також абстракції від попередніх абстракцій, тобто математика вивчає форми і відношення матеріального світу, які беруться відокремлено від їх конкретного змісту.

Математика розвивалася і розвивається до сих пір, вражаючи уяви людства своєю багатогранністю, новизною і незвичайністю використовуваних уявлень і понять, неочікуваною своєрідністю методів, особливостями мови. Процес диференціації наук охопив і математику, привівши до виникнення всередині неї множин галузей. Одночасно з розвитком методів і галузей її відбувалося і її проникнення в інші науки, йшов процес так званої математизації наук. В силу логіки розвитку самої науки математика перетворилась в метод наукового дослідження. В ХХ столітті один з філософів Вітгенштейн виразив думку, що вся математика є не що інше, як сукупність тавтологій, а математичні доведення являють собою тавтологічні перетворення. Ця теорія пояснювала абсолютну достовірність математики і її універсальне застосування. Але вона була безсильна пояснити здатність математики відкривати нове в світі. Останні десятиліття ознаменувались бурним розвитком засобів і методів обчислювальної математики. Зараз можна проводити математичне прогнозування складних явищ і технічних пристроїв, вивчення яких іншими засобами неможливе або дуже важке. Без сучасної математики з її довершеним логічним і обчислювальним апаратом неможливим був би прогрес у найрізноманітніших сферах людської діяльності. Завдяки комп’ютерам математичні методи застосовуються нині не тільки в таких традиційних науках як механіка, фізика, астрономія, а і в хімії, біології, психології, соціології, медицині, лінгвістиці та ін. Методи математики, її універсальна мова, що здатна адекватно відбивати закони навколишнього світу, нестримно проникають в інші науки, збагачуючи їх пізнавальні можливості. Особливо це стосується економіки – науки про об’єктивні закономірності функціонування і розвитку суспільства, яка здавна користується різноманітними кількісними характеристиками, органічно математизуючись за формою і змістом.

Взагалі історію розвитку математики умовно можна поділити на такі періоди:

1). Період зародження математики як самостійної дисципліни(… - 6-5 ст. до н.е.).

В даний період формувались поняття цілого числа і раціонального дробу, відстані, площі, об’єму, створювалися правила дій над числами та найпростіші правила обчислення площ фігур та об’ємів тіл. На базі цих знань зародились арифметика та алгебра. Обчислення площ та об’ємів тіл сприяло розвитку геометрії, а в зв’язку з запитами астрономії виникли початки тригонометрії. Однак у цей період математика ще не стала дедуктивною наукою, а являла собою свого роду збірник правил для розв’язання окремих практичних задач.

2). Період елементарної математики (6-5 ст. до н.е. – серед 17 ст.)

Саме в цей період математика стає самостійною наукою з своєрідним чітко вираженим методом і системою основних понять. В Індії виникла десяткова система числення, у Китаї знайдено метод розв’язування лінійних рівнянь, стародавні греки запропонували спосіб викладення елементарної геометрії на базі системи аксіом, який став зразком дедуктивної побудови математичної теорії на багато століть («Начала» Евкліда). У 15 – 16 столітті почали застосовувати знаки дій додавання, віднімання, дужки, степені, корені. У цьому ж столітті Ф. Вієт (франц.) застосовує букви для позначення заданих та невідомих величин. Велике значення в розвитку математики відіграли праці таких вчених – Фалеса, Піфагора, Евкліда (гр.), Аріабхатти (інд), Кардано і Феррарі (іт.).

3). Період створення математики змінних величин (серед 17 ст. – поч. 19 ст.)

Починаючи з 17 століття в зв’язку з вивченням кількісних відношень в процесі їх зміни, на перший план висувається поняття змінної величини і функції. Природознавство і техніка одержали новий метод вивчення руху і зміни стану речовин – диференціальне і інтегральне числення (І.Ньютон, Г.Лейбніц). В цьому ж періоді в працях Р.Декарта на базі широкого використання методу систем координат створюється аналітична геометрія. До названих математиків, що плідно працювали в цей період можна віднести П.Ферма, Ж.Лагранжа (франц.), К.Якобі, К.Веєрштрасса (нім.), М.Остроградського, П.Чебишова, Л.Ейлера (рос.).

4). Період сучасної математики (поч. 19 ст. – … )

Даний період починається з праць Е.Галуа, в яких закладені ідеї теорії алгебраїчних структур і М.І.Лобачевського, який відкрив неевклідову геометрію. Він характеризується надзвичайно широким застосуванням математики до задач, що їх висуває природознавство і техніка. На базі їх запитів зароджується і бурхливо розвивається функціональний аналіз, теорія множин, теорія ймовірностей, теорія ігор та ін.. У розвитку математики цього періоду значну роль відіграли роботи німецьких математиків Д. Гільберта, П.Кантора, французького математика А.Лебега, українських та російських математиків П.Александрова, М.Боголюбова, А.Колмогорова, В.Глушкова, М.Кравчука та багатьох інших.

2.Множини, способи їх задання. Операції над множинами.

Одним з основних понять сучасної математики є поняття множини. У повсякденному житті ми постійно зустрічаємось з цим поняттям, розуміючи під ним зібрання, сукупність, колекцію речей, об’єднаних за деякими ознаками (зграя птахів, табун коней, колекція листівок). Прикладами множин у математиці є геометрична фігура, розв’язок нерівності чи систем нерівностей та ін.

За Г.Кантором множина – це сукупність, клас, група об’єктів, об’єднаних за якоюсь ознакою.

Множини позначаються великим латинськими літерами A,B,C,…,Z, а елементи множин – малими літерами a,b,c,…,x,y,z. Твердження про те, що елемент а належить множині А, записують у вигляді . Коли навпаки – елемент а не належить множині А, виконують такий запис: . Якщо множини мають скінченну кількість елементів, то їх можна записати у вигляді . Нескінченні множини не можуть задаватись переліком їх елементів. Такі множини задають за допомогою характеристичної властивості їхніх елементів, тобто властивості, яку мають всі елементи цієї множини і тільки вони. Якщо Р(х) – скорочене позначення речення «елемент х має властивість Р», то множину М, елементи якої мають характеристичну властивість Р, записують так: .

Означення: Порожньою множиною називається множина, яка не містить жодного елемента (тобто не існує елементів, що мають певну властивість).

Означення: Дві множини А і В називаються рівними, якщо кожний елемент множини А є елементом множини В, і навпаки.

Означення: Множина А, що складається зі скінченної кількості елементів називається скінченною. Число елементів множини називають її потужністю і позначають М(А).

Означення: Множина А називається підмножиною множини В, якщо кожен елемент множини А є елементом множини В:

Тоді можна записати, що А А, Ø А.

Операції над множинами.

Означення: Об’єднанням двох множин А і В називається множина А В, елементи якої належать хоча б одній із цих множин:

А В ={ х| х А або х В}.

Означення: Перерізом двох множин А і В називається множина А В, елементи якої належать як множині А, так і множині В:

А В = {х| х А і х В}

Означення: Різницею двох множин А і В називається множина А\В, елементи якої належать множині А і не належать множині В:

А\В = {х| х А і х В}.

Нехай А – підмножина множини Ω.

Означення: Різницю Ω\А називають доповненням множини А до множини Ω і позначають Ā.

Для операцій об’єднання, перерізу і віднімання множин справджуються такі властивості:

1. А В = В А; А В= В А (комутативність об’єднання і перерізу).

2. (А В) С = А (В С); (А В) С = А (В С) (асоціативність об’єднання і перерізу).

3. (А В) С = (А С) (В С) (дистрибутивність перерізу відносно об’єднання)

(А В) С = (А С) (В С) (дистрибутивність об’єднання відносно перерізу).

4. (А\В) С = (А С)\(В С) (дистрибутивність перерізу відносно різниці.

5. Якщо А В, то А В = В і А В = А.

Властивості 1 і 2 – очевидні. Доведемо властивість 3.

Доведення: Нехай тоді і . Через те, що , то або , або . Якщо , то , але тоді . Якщо , то , але тоді .

Отже, при маємо . А це означає, що .

Нехай , тоді або , або . Якщо , то і . Через те, що , то . Тоді . Якщо , то і . Але тоді , а отже, . Таким чином, . Отже, (А В) С = (А С) (В С).

Властивість 4 доводиться аналогічно, тому доведете її самостійно.

Лема: Для будь-яких скінченних множин А і В виконується рівність:

.

Доведення: Нехай А і В не перетинаються, тобто . Тоді , оскільки об’єднання розглядуваних множин утворюється додаванням усіх елементів однієї множини до елементів іншої.

Якщо множини А та В перетинаються, то кількість їх спільних елементів дорівнює . Об’єднання множин А та В утворюється з елементів множини А та елементів множини В, що не є елементами множини А. Число таких елементів становить . Отже, .