10. Сила давления жидкости на плоскую стенку

Рассмотрим произвольную площадку ds, расположенную на плоской наклонной стенке сосуда с жидкостью на расстоянии Y от оси X, и определим силы, действующие на эту площадку. Сила от давления, действующего на элементарную площадку dS, будет описываться формулой:

Если проинтегрировать это выражение по площади, можно определить полную силу, действующую на всю площадь целиком

Из рисунка ясно, что в последнем выражении . Подставив значение h в предыдущее выражение, будем иметь:

Из теоретической механики известно, что интеграл есть ни что иное, как статический момент площади Sотносительно оси 0X. Он равен произведению этой площади на координату её центра тяжести, т.е. можно записать

г де Yс – расстояние от оси X до центра тяжести площади S.

Подставив формулу момента в выражение силы, получим:

Анализ второго слагаемого показывает, что произведение это глубина положения центра тяжести площадки, а - избыточное давление жидкости в центре тяжести площадки. С учётом этого можно записать

С умма в скобках в последнем выражении является абсолютным давлением в центре тяжести рассматриваемой произвольной площадки. Таким образом, можно сделать вывод: полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению её площади на величину гидростатического давления в центре тяжести этой стенки.

Однако необходимо учесть, что эта сила не сконцентрирована в точке, а распределена по площади. И распределение это неравномерно. По этой причине для расчётов, кроме величины силы действующей на наклонную площадку, необходимо знать точку приложения равнодействующей.

1 1. Сила давления ж-ти на циллиндрические и сферические пов-ти

Рассмотрим открытый сосуд, заполненный покоящейся жидкостью. Одна из стенок сосуда имеет цилиндрическое очертание.

(.) 0 – центр кривизны поверхности.

В соответствии с I свойством гидростатического давления в каждой точке такой поверхности давление направлено по нормали. Следовательно, в случае цилиндрической (и сферической) поверхности направление результирующей силы давления P всегда проходит через центр кривизны поверхности.

В общем случае криволинейной поверхности с несколькими центрами кривизны это не выполняется – через центр кривизны поверхности в данной точке проходит только направление элементарных составляющих сил.

Результирующую силу давления P можно разложить на две составляющие:

Таким образом, дя определения величины и направления силы P необходимо определить Рв и Pг. Найдём Рв и Pг.

Рис. 7.2. К определению величины силы давления на криволинейную поверхность

[1] Для этого выделим на рассматриваемой криволинейной поверхности элементарную площадку dw (Рис. 7.2). В связи с малостью её размеров её можно считать плоской. Центр площадки находится на глубине h.

[2] На эту площадку действует сила dP, обусловленная гидростатическим давлением в точке, соответствующей центру площадки. Как и ренее, пренебрегаем изменением давления при перемещении вдоль площадки в связи с малостью её размеров.

Горизонтальная составляющая силы dP

Из рисунка 7.2 видно, что

- вертикальная проекция площадки dw

Таким образом:

Проинтегрируем последнее выражение по площади w поверхности сосуда, для того чтобы получить величину горизонтальной составляющей силы давления на эту поверхность.

поскольку

- статический момент

вертикальной проекции площади dw относительно оси OX. (В данном случае ось OX направлена нормально к плоскости чертежа, она находится на прямой, образованной пересечением цилиндрической поверхности и плоскостью свободной поверхности жидкости).

hc – глубина погружения центра тяжести вертикальной проекции площади w.

- вертикальная проекция площади w (сумма вертикальных проекций элементарных площадок dwв).

Таким образом:

Это утверждение можно распространить и на случай других криволинейных поверхностей (нецилиндрических).

Вертикальная составляющая силы давления dP на элементарную площадку:

(*)

аналогично - горизонтальная проекция площадки dw.

Д ля определения величины вертикальной составляющей силы давления на рассматриваемую поверхность проинтегрируем (*) по площади w.

где

– объём жидкости, находящийся над элементарной площадкой dw;

– объём жидкости, находящийся над криволинейной поверхностью – объём тела давления;

– горизонтальная проекция площади криволинейной поверхности;

- вес тела давления.

Итак:

Это утверждение также можно распространить и на случай других криволинейных поверхностей (нецилиндрических).

Зависимости, полученные для величин горизонтальной и вертикальной составляющих силы гидростатического давления на криволинейные поверхности справедливы также и для плоских поверхностей.

В случае определения составляющих силы избыточного гидростатического давления при давлении на поверхности жидкости равном атмосферному, давление на поверхности жидкости следует принимать равным нулю.