23. Показатели вариации. Абсолютные и относительные показатели вариации

При характеристике колеблемости признака применяют систему абсолютных и относительных показателей.

К абсолютным показателям вариации относятся:

1) размах вариации

2) среднее линейное отклонение ;

3) дисперсия ;

4) среднеквадратическое отклонение

Эти показатели (кроме дисперсии) измеряются в тех же единицах, что и сам признак: в тоннах, метрах, секундах, рублях.

К относительным показателям вариации относятся;

1) коэффициент осцилляции ;

2) Линейный коэффициент вариации ;

3) Простой коэффициент вариации ;

Эти показатели выражаются в процентах или относительных величинах.

Размах вариации. Наиболее простым способом измерения колеблемости является определение размаха вариации, т.е. разности между максимальным и минимальным значениями варьирующего признака.

Величина R показывает, в каких пределах колеблется размер признака, образующего ряд распределения. Показатель R выражается в тех же единицах измерения, что и варианты ряда. Но размах вариации как показатель колеблемости имеет существенный недостаток. Его величина определяется двумя крайними значениями признака, в то время как колеблемость последнего в целом складывается из суммы всех его значений. Поэтому размах вариации может в ряде случаев неправильно характеризовать колеблемость признака. Если, например, на большой посевной площади с равномерной в целом урожайностью встречаются отдельные небольшие участки с исключительно высокой и низкой урожайностью, то размах вариации будет иметь значительный размер, хотя колеблемость урожайности в целом незначительна. Следовательно, размах вариаций не отражает варьирования признака основной массы единиц совокупности.

В связи с тем, что каждое индивидуальное значение признака отклоняется от средней на определенную величину, очевидно, что мерой вариации может служить среднее из отклонений каждой отдельной варианты от их средней. Такими показателями являются среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Среднее линейное отклонение. Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю из абсолютных значений отклонений отдельных вариант от их средней. Так как алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней равна нулю, т.е.

(второе свойство средней арифметической),

при исчислении среднего линейного отклонения принимаются во внимание только абсолютные значения отклонений без учета знаков («+» или «-»). Среднее линейное отклонение рассчитывается по формуле средней арифметической простой

или средней арифметической взвешенной

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией называется средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины. Дисперсия обозначается греческой буквой (сигма) в квадрате и равна

При равенстве весов или когда они равны 1,

Дисперсия имеет большое значение в статистическом анализе. Однако ее применение как меры вариации в ряде случаев бывает не совсем удобным, потому что размерность дисперсии равна квадрату размерности изучаемого признака. В таких случаях для измерения вариации признака вычисляют среднее квадратическое отклонение. Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из суммы квадратов отклонений индивидуальных значений признака от их средней, т.е. из дисперсии:

А при равенстве весов, или когда они равны 1,

Исчисление дисперсии и среднего квадратического отклонения позволяет устранить недостаток среднего линейного отклонения. Ведь любое число, положительное или отрицательное, возведенное в квадрат, будет числом положительным.

Коэффициент вариации. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение недостаточно полно характеризуют колеблемость признака, так как показывают абсолютный размер отклонений, что затрудняет сравнение изменчивости различных признаков.

Для характеристики колеблемости явлений среднее квадратическое отклонение сопоставляют с его средней величиной и выражают в процентах. Такой показатель называется коэффициентом вариации, обозначается буквой V и рассчитывается по формуле

Коэффициент вариации представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической. Выражая его в процентах, различные абсолютные среднеквадратические отклонения приводят к одному основанию и дают возможность сравнивать, оценивать колеблемость величин различных признаков. При помощи коэффициента вариации возможно, например, сравнение размера колеблемости производительности труда групп рабочих, занятых производством различных видов продукции, размера колеблемости урожаев различных сельскохозяйственных культур и т.д. Чем меньше коэффициент вариации, тем меньше колеблемость признака, и наоборот.

Если взять отношение среднего линейного отклонения к средней арифметической в процентах, то получим линейный коэффициент вариации:

Отношение размаха вариации к средней арифметической в процентах называется коэффициентом осцилляции:

Самым распространенным относительным показателем колеблемости является коэффициент вариации. Он более точно, чем абсолютный, характеризует различие колеблемости признаков.

По величине коэффициента вариации можно судить о степени вариации признаков совокупности. Чем больше его величина, тем больше разброс значений вокруг средней, тем менее однородна совокупность по своему составу и тем менее представительна средняя.

Коэффициент вариации важен и в тех случаях, когда нужно сравнивать средние квадратические отклонения, выраженные в разных единицах измерения.