21. Характеристика структурных средних величин. Мода и медиана. Методология расчета в ранжированном дискретном ряду, интервальном ряду

Для характеристики величины варьирующего признака пользуются так называемыми структурными средними — модой и медианой.

Мода — это наиболее часто встречающееся значение ряда. Мода широко используется в коммерческой практике при изучении покупательского спроса. Мода применяется, например, при определении размера одежды, обуви, пользующихся наибольшим спросом у покупателей, наиболее распространенной цены на тот или иной товар на рынке, и т.д.

Величина моды и медианы, как правило, отличается от величины средней, совпадая с ней только в случае симметрии вариационного ряда.

В дискретном ранжированном ряду мода– это варианта (х) с наибольшей частотой (f).

При расчете моды для интервального вариационного ряда необходимо вначале определить модальный интервал, в пределах которого находится мода, а затем значение модальной величины признака. В этом случае моду рассчитывают по следующей формуле:

где х₀ — нижняя граница модального интервала;

h — величина модального интервала;

f_Мо — частота модального интервала;

f_Мо-1 — частота интервала, предшествующего модальному;

f_Мо+1 — частота интервала, следующего за модальным.

Но мода и средняя величина по-разному характеризуют совокупность. Мода определяет непосредственно размер признака, свойственный хотя и значительной части, но все же не всей совокупности. Мода по своему обобщающему значению менее точна по сравнению со средней арифметической, характеризующей совокупность в целом с учетом всех без исключения элементов совокупности.

Медианой является значение элемента, который больше или равен и одновременно меньше или равен половине остальных элементов ряда распределения. Медиана делит ряд на две равные части.

Для ранжированного ряда, построенного в порядке возрастания или убывания индивидуальных величин с нечётным числом членов, медианой является варианта, расположенная в центре ряда. Например, в ранжированном ряду о стаже работы семи продавцов – 1,2,2,3,5,7,10 лет – медианой является четвёртая варианта – 3 года.

Для ранжированного ряда с четным числом членов (индивидуальных величин) медианой будет средняя арифметическая из двух смежных вариант. Например, если в бригаде продавцов из шести человек распределение по стажу работы будет таким: 1,3,4,5,7,9 лет, то медианой будет значение, равное (4+5) : 2 = 4,5 года т.е. М_е = (Х_ме + Х_ме+1) : 2

При нахождении медианы интервального вариационного ряда вначале определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана, а затем — приближенное значение медианы по формуле:

где: x₀ — нижняя граница интервала, в котором находится медиана;

- сумма частот или число членов ряда;

f_Mе-1 —накопленная частота в интервале, предшествующем медианному;

f_Me — частота в медианном интервале;

h — величина интервала;

k — число групп.

В интервальном вариационном ряду порядок нахождения медианы следующий: располагаем индивидуальные значения признака по ранжиру; определяем для ранжированного ряда накопленные частоты; по данным о накопленных частотах находим медианный интервал. Медиана делит численность ряда пополам, следовательно, она там, где накопленная частота составляет половину или более половины всей суммы частот, а предыдущая (накопленная) частота - меньше половины численности совокупности.

Медиана не зависит ни от амплитуды колебаний ряда, ни от распределения частот в пределах двух равных частей ряда, поэтому ее применение позволяет получить более точные результаты, чем при использовании других форм средних.