Формы записи комплексных чисел

• Алгебраическая

где − координата тока на действительной оси,

− координата тока на мнимой оси (рис. 2),

– мнимая единица.

Умножение числа на j означает его поворот против часовой стрелки на 90°; умножение на −j −поворот по часовой стрелке на −90°.

• Тригонометрическая

получена при использовании формулы Эйлера

.

Величина (или модуль тока) .

• Показательная

где − поворотный множитель относительно действительной оси,

− аргумент, показывающий сдвиг фаз.

Действия с комплексными числами

• Сложение и вычитание комплексных чисел

Удобнее производить в алгебраической форме:

; ;

.

• Умножение и деление

В показательной форме:

;

.

Выражение сопротивлений и проводимостей в комплексной форме

Пусть известны напряжение u и ток i, проходящий в какой-либо ветви сложной цепи переменного тока:

;

.

Представим эти величины в символической записи

; ,

и найдём их отношение, которое обозначим буквой Z:

Здесь U, I, − действующие значения тока и напряжения. Их отношение равно полному сопротивлению цепи

,

где – фазовый сдвиг между током и напряжением.

Комплекс полного сопротивления ветви

.

Применив формулу Эйлера, получим:

,

где – активное сопротивление ветви,

− реактивное сопротивление ветви.

Полное сопротивление ветви (или цепи в целом) выражается комплексным числом:

.

Величина, обратная комплексу полного сопротивления, называется комплексом полной проводимости

.

Выражение электрической мощности в комплексной форме

Пусть известны комплекс напряжения на зажимах ветви (или цепи) и комплекс тока в этой ветви :

; .

Сопряжённым комплексным числом называется такое, которое отличается от данного только значением мнимой части.

Поэтому сопряжённый комплекс тока имеет вид:

.

Произведение комплекса напряжения на сопряжённый комплекс тока даёт комплексное выражение для полной мощности

,

где – фазовый сдвиг между током и напряжением.

Следовательно,

.

Модуль полученного комплекса (читается «S с тильдой») равен полной мощности ветви (или цепи в целом). Действительная часть комплекса мощности равна активной мощности P, а коэффициент при мнимой единице – реактивной мощности Q.

Примеры расчёта смотреть в [4], задачи 7.5, 7.6, 7.9, 7.10 с. 222 – 228.

Часть I Расчёт трёхфазных трёхпроводных и четырёхпроводных сетей большой мощности с однофазными и трёхфазными приёмниками электрической энергии и различным характером нагрузки

В трёхфазную сеть большой мощности включены приёмники, данные которых приведены в таблицах 1.1 и 1.2 (с. 14 – 17).

1. Составить схему включения приёмников и ваттметров для измерения суммарной активной мощности всех приёмников.

2. Определить токи в проводах сети.

3. Определить сопротивления элементов схемы замещения приёмников.

4. Построить векторную диаграмму электрического состояния цепи.

5. Определить показания ваттметров.

6. Рассчитать коэффициент мощности полученной системы.