9.Выравнивание временного ряда с помощью линейной функции
Для получения математической модели, выражающей общую тенденцию (тренд) изменения уровней временного ряда, проводят его аналитическое выравнивание.
Суть выравнивания заключается в замене сглаженных уровней ряда уровнями, вычисленными на основе определённой аппроксимирующей функции. При выборе аппроксимирующей функции часто прибегают к анализу графического изображения сглаженного временного ряда.
Рассмотрим выравнивание сглаженного с помощью трёхчленной скользящей средней временного ряда линейной функцией (линейным трендом)
,
(9.1)
где
– выровненные уровни временного ряда;
– порядковый номер периода времени (фактор времени).
Параметры
и
тренда (12.1) рассчитываются по методу
наименьших квадратов.
.
(9.2)
Поиск параметров уравнения (12.1) упростится, если отсчёт времени производить так, чтобы сумма факторов времени временного ряда удовлетворяла условию
.
(9.3)
Если число уровней
временного ряда чётное, то нулевое
значение фактора времени
отсутствует.
В этом случае периоды времени, относящиеся
к середине ряда, имеют номера
и
.
Более ранние значения фактора времени
ряда нумеруются
,
а более поздние
и т.д.
Тогда, при выполнении условия (9.3) параметры уравнения (9.1) находятся по формулам
;
(9.4)
,
(9.5)
где
– уровни сглаженного временного ряда.
Посчитаем параметры уравнения:
Решим уравнение 9.1
Среднюю ошибку аппроксимации временного ряда линейным трендом можно определить как величину среднеквадратического отклонения выровненных уровней ряда от сглаженных
,
(9.6)
где
и
– соответственно выровненные и сглаженные
уровни временного ряда.
Результаты расчётов сведем в таблицу 9.1.
Таблица 9.1
Результаты выравнивания временного ряда с помощью линейной функции
Сглажённые и выровненные уровни ряда
|
|
|
|
||||
Годы |
|
|
|
8,7 |
0,25 |
1,4 |
|
1998 |
-7 |
5,1 |
6,95 |
||||
1999 |
-6 |
5,7 |
7,2 |
||||
2000 |
-5 |
6,9 |
7,45 |
||||
2001 |
-4 |
8,7 |
7,7 |
||||
2002 |
-3 |
10,2 |
7,95 |
||||
2003 |
-2 |
10,0 |
8,2 |
|
|
|
|
2004 |
-1 |
8,8 |
8,45 |
||||
2005 |
1 |
8,6 |
8,95 |
||||
2006 |
2 |
9,7 |
9,2 |
||||
2007 |
3 |
9,8 |
9,45 |
||||
2008 |
4 |
9,8 |
9,7 |
||||
2009 |
5 |
9,0 |
9,95 |
||||
2010 |
6 |
10,2 |
10,2 |
||||
2011 |
7 |
9,2 |
10,45 |
||||
На рисунке в Приложении 5, где изображены вместе линейная диаграмма исходного временного ряда и временной ряд, сглаженный методом скользящей средней, построим график линейного тренда. По полученному уравнению =8,7+0,25t мы получили линию тренда с небольшим углом наклона.