§ 7. Ряд Тейлора.

Пусть функция бесконечное число раз дифференцируема в точке . Ряд

называется рядом Тейлора функции в точке . Если , ряд Тейлора называется рядом Маклорена:

Упражнение

Разложить в ряд Маклорена функцию

Основные вопросы: сходится ли ряд Тейлора? Какова область сходимости? Сходится равномерно или поточечно? Если ряд сходится равномерно, то к какой функции?

Ряд Тейлора – это частный случай степенного ряда, поэтому всё, что справедливо для степенного ряда, справедливо и для ряда Тейлора.

Теорема 1.

Если производные ограничены:

,

то ряд Тейлора сходится равномерно на

Доказательство.

По условию, ряд будет являться мажорирующим рядом для ряда Тейлора. Покажем, что мажорирующий ряд сходится. По признаку Даламбера:

,

поэтому ряд сходится на . Согласно теореме 2 предыдущего параграфа, ряд Тейлора сходится равномерно на любом отрезке, содержащемся в , т.е. на , ч.т.д.

Например, составим ряд Маклорена для функции :

.

Все производные, очевидно, ограничены:

,

поэтому, согласно доказанной теореме, полученный ряд равномерно сходится на .

Заметим, что если производные неограниченны, то это вовсе не означает, что ряд расходится.

Упражнение

Разложить в ряд Маклорена функции

Теорема 2.

Если производные ограничены:

,

то ряд Тейлора сходится к породившей его функции:

.

Доказательство длинное.

Вот как выглядят разложения основных функций в ряд Маклорена (по степеням ):

1. на .

В частности, .

2. на .

3. на .

Из первых трёх разложений следует, что

,

поэтому

-

показательная форма записи комплексного числа.

4. на .

В частности, .

5. на .

В частности, .

Упражнение

Используя разложения 1 – 5, разложить в ряд Тейлора функции:

Существует ещё один способ разложения функции в ряд Тейлора: по формуле суммы геометрического ряда:

.

Упражнение

Разложить в ряд Тейлора функции:

§ 7. Ряд Фурье.

Последовательность функций

называется тригонометрической последовательностью.

Если две функции и - члены этой последовательности, то интеграл

называется скалярным произведением функций и .

Теорема 1.

Тригонометрическая последовательность ортогональна, т.е. при

.

Для доказательства этой теоремы надо проверить, что справедливы равенства:

1. при ;

2. ;

3. при ;

4. ;

5. .

Сумма

или

,

где и - некоторые числа, называется рядом Фурье.

Разложим произвольную функцию в ряд Фурье, т.е. найдём такие коэффициенты и , чтобы выполнялось равенство

. (*)

Проинтегрируем его от – π до π. По теореме 1, все слагаемые в правой части, за исключением одного, обратятся в нуль и получится:

.

Отсюда мгновенно следует, что

.

Если умножить (*) на и лишь затем проинтегрировать от – π до π, то в правой части снова останется только одно незанулившееся слагаемое. Получим:

.

Вычислив интеграл в правой части, получим формулу для нахождения :

.

Аналогичными рассуждениями можно вывести:

.

Заметим, что если - нечётная функция, то и равны нулю, поэтому разложение будет только по синусам. Если же - чётная функция, то и разложение в ряд Фурье будет только по косинусам.

Упражнение

Разложить в ряд Фурье функции

Обозначим сумму получившего ряда

,

где и вычислены по предыдущим двум формулам. Очевидно, функция периодическая с периодом , поэтому равенство может иметь место на ℝ только в случае, если периодическая с периодом . Если же непериодическая или разрывная (точки разрыва I рода), то надо продолжить её на ℝ по принципу периодичности:

Тогда для любого из ℝ будет справедливо равенство:

Здесь для краткости обозначены:

, .