§ 3. Признаки сходимости положительных рядов.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
Признак Коши (радикальный).
Пусть - положительный ряд и
.
Если , то ряд сходится.
Если , то ряд расходится.
Доказательство.
Если , то найдём такое число , чтобы
.
По условию,
.
Если взять
,
получим, что, начиная с номера
,
,
,
.
Ряд
является геометрическим рядом со
знаменателем
,
поэтому он сходится. Тогда, по первой
теореме сравнения, меньший ряд
тоже сходится. Раз остаток ряда сходится,
то и сам ряд
тоже сходится (см. § 1), что и доказывает
первую половину теоремы.
Аналогично.
Применяя признак Коши очень полезным оказывается знать, что
.
В самом деле:
По правилу Лопиталя, получим:
.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
Признак Даламбера.
Пусть - положительный ряд и
.
Если , то ряд сходится.
Если , то ряд расходится.
Доказательство аналогичное, как и у признака Коши.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
Признак Коши (интегральный).
Пусть
- положительный ряд, причём функция
убывает на
.
Тогда
.
Рассмотрим график :
Площадь всех прямоугольничков равна
-
сумма рассматриваемого ряда. Очевидно,
она больше, чем
,
поэтому если ряд сходится, то и интеграл
сходится.
Наоборот аналогично, ч.т.д.
Упражнение
Исследовать на сходимость ряды:
§ 4. Знакопеременные ряды.
Если ряд содержит как положительные, так и отрицательные члены, то он называется знакопеременным. Если ряд, составленный из абсолютных величин:
,
сходится, то ряд называется сходящимся абсолютно.
Пример
Если сам ряд сходится, а ряд, составленный из модулей , расходится, то ряд называется сходящимся условно.
Теорема.
Если ряд сходится абсолютно, то он просто сходится.
Доказательство.
Представим ряд в виде суммы только положительных и только отрицательных слагаемых:
,
где
,
.
Оценим каждый из двух получившихся
рядов:
.
По условию, больший ряд сходится, поэтому, по первой теореме сравнения, меньший ряд тоже сходится. Обозначим
.
Ряд
является положительным.
.
Снова делаем вывод, что меньший ряд
сходится. Обозначим
или
.
Получили, что
.
Так как
и
- суммы сходящихся рядов, они конечны,
поэтому разность
тоже конечна. Но это и означает, что ряд
сходится, ч.т.д.
Ряд называется знакочередующимся, если его соседние члены имеют разные знаки.
Признак Лейбница (сходимости знакочередующегося ряда).
Если ряд
- знакочередующийся, члены ряда по модулю
убывают:
и
,
то ряд сходится.
Доказательство.
Пусть для определённости
.
Рассмотрим чётную частичную сумму
.
В каждой скобке первое слагаемое положительное, а второе – отрицательное, причём модуль положительного больше (см. условие). Поэтому каждая скобка неотрицательна, отсюда последовательность чётных частичных сумм возрастает. Покажем, что она ограничена сверху.
.
Здесь, наоборот, каждая скобка
неположительна, число
также неположительное, поэтому
,
т.е. последовательность чётных частичных сумм ограничена сверху. По теореме Вейерштрасса (глава I, § 5, св. 8), она имеет предел. Пусть
.
Покажем, что нечётные частичные суммы стремятся туда же. В самом деле:
.
Первый предел равен , по доказанному; второй равен нулю, по условию. Таким образом, нечётные частичные суммы тоже стремятся к , поэтому ряд сходится, ч.т.д.
Пример
На практике чаще всего из того, что , следует, что , поэтому признак Лейбница вместе с необходимым условием сходимости (§ 1) фактически дают критерий сходимости знакочередующегося ряда:
.