§ 9. Условие независимости криволинейного интеграла II рода от пути.

Рассмотрим интеграл и вычислим его по отрезку, соединяющему точки и . Затем вычислим этот же самый интеграл по дуге параболы, соединяющей точки и . Увидим, что ответы получились одинаковыми. И это не случайно. Иногда значение интеграла зависит только от начальной и конечной точки и не зависит от пути интегрирования. В этом случае интеграл можно вычислить по формуле, напоминающей формулу Ньютона-Лейбница:

.

Первый вопрос: что понимать под первообразной ? Очевидно, это функция, дифференциал которой равен подынтегральному выражению:

.

Второй вопрос: как найти эту первообразную? Естественно, интегрированием. Для примера вычислим интеграл

от точки до точки . У нас , .

1. Находим первообразную , точнее говоря, её первую часть:

.

Функция выступает в роли константы, ибо при интегрировании по переменной мы считаем постоянным.

2. Находим функцию . Каким образом? Формула вычисления дифференциала функции двух переменных такова:

.

С другой стороны, у нас . Сопоставляя эти формулы, увидим, что

.

Отсюда уравнение:

.

Решая его, находим функцию :

.

Как и в формуле Ньютона-Лейбница, достаточно найти только одну из первообразных. Тем самым мы выяснили, что

.

3. Получилось:

.

Третий вопрос: в каком случае криволинейный интеграл II рода можно вычислять по формуле

?

Ответ: если существует функция , такая, что

.

Дело в том, что первообразная существует далеко не всегда.

Наконец, последний вопрос: как определить, существует первообразная или нет? Ответ такой же, как и на вопрос о том, будет ли данное дифференциальное уравнение уравнением в полных дифференциалах? Если

,

то первообразная существует.

Замечание 1.

В ходе наших рассуждений выяснилось, что следующие утверждения эквивалентны:

1. Интеграл не зависит от пути интегрирования.

2. По любому замкнутому пути .

3. Выполняется тождество .

4. Существует функция , такая, что .

Замечание 2.

Работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела, над которым совершается работа, а зависит только от начальной и конечной точек. При этом она равна разности потенциальных энергий тела в точках и :

.

§ 10. Поверхностные интегралы I рода.

Диаметром множества называется наибольшее расстояние между любыми его двумя точками:

.

Пусть задана функция и поверхность , содержащаяся в области определения этой функции. Разобьём эту поверхность на частей и обозначим .

На каждой из частичек выберем произвольную точку и составим сумму

,

где значком обозначена площадь частички .

Если существует предел

,

который не зависит разбиения поверхности и выбора точек , то он называется поверхностным интегралом I рода и обозначается

.

Его свойства практически совпадают со свойствами криволинейного интеграла I рода:

1. .

2. .

3. , если поверхность состоит из поверхностей и , не пересекающихся внутренним образом.

4. - площадь поверхности .

В самом деле, если , то интегральная сумма

,

естественно, равна площади поверхности .

5. Если функция , то её можно ассоциировать с поверхностной плотностью, поэтому

,

где - масса поверхности .