Вычисление криволинейного интеграла I рода.

Если дуга задана параметрическим уравнением:

то, как мы знаем, (глава III, §15) элемент длины дуги вычисляется по формуле

.

Отсюда

.

При этом надо обязательно следить, чтобы было .

§ 7. Криволинейные интегралы II рода.

Пусть некоторое тело движется по дуге , расположенной в плоскости под действием силы . В общем случае сила меняется от точки к точке, поэтому каждая координата вектора силы является функцией двух переменных:

.

Задача состоит в том, чтобы найти работу силы по перемещения тела из точки в точку .

По традиции разобьём дугу на частей и длину наибольшей дуги разбиения обозначим :

,

где - длина дуги . Работу силы на каждой из дуг обозначим . При перемещение тела по дуге можно считать перемещением по вектору , а силу можно считать постоянной и вычислять в произвольной точке . Для прямолинейного движения под действием постоянной силы остаётся справедливой школьная формула вычисления работы:

.

Для нахождения скалярного произведения векторов и используем опять же школьную формулу

.

Чтобы найти работу на всей дуге , нужно, естественно, просуммировать:

.

Получившееся выражение называется интегральной суммой криволинейного интеграла II рода.

Если существует предел

,

который не зависит от разбиения дуги и выбора точек К_i, то он называется интегралом по координатам или криволинейным интегралом II рода от функции . Обозначение такое:

.

Свойства.

Повторяться не будем, перечислим только основные:

1. , если точка принадлежит дуге .

2. , т.е. значение криволинейного интеграла II рода зависит от направления интегрирования. Это связано с тем, что если при движении по кривой от точки к точке приращения и были, например, положительными, то при движении в обратном направлении они станут отрицательными.

3. Физический смысл.

,

где - работа силы по перемещению тела их точки в точку .

Вычисление криволинейного интеграла II рода.

Если дуга задана параметрическим уравнением:

где , , то вполне естественно, что

.

При этом надо обязательно следить, чтобы точке соответствовало значение , а точке - значение .

В частности, если кривая задана явным уравнением , то

.

Связь между криволинейными интегралами I и II родов.

Обозначим углы, которые образует вектор с осями координат:

, .

Очевидно,

, ,

где . Поэтому

.

§ 8. Формула Грина.

Она связывает интеграл по замкнутой кривой и двойной интеграл по области , ограниченной этой замкнутой кривой.

Если начало и конец дуги совпадают, то она называется замкнутой. Криволинейный интеграл II рода по замкнутой кривой называется интегралом по замкнутому пути или циркуляцией вектора по замкнутому контуру . Обозначение такое:

.

Если замкнутый путь пробегается против хода часовой стрелки (направление обхода положительное), то справедлива формула Грина:

.

Доказательство.

.

Вычислим отдельно последний интеграл:

В предыдущем параграфе мы могли видеть, что

,

откуда, в частности, следует, что

.

Применяя последнюю формулу, получим:

.

Итак, доказано, что . Аналогичными рассуждениями можно показать, что . Вычитая из последнего равенства предпоследнее, мы и получим формулу Грина.

Обычно формула Грина применяется слева направо:

,

т.е. с помощью двойного интеграла мы вычисляем криволинейный интеграл II рода. Но можно использовать формулу Грина и в обратном направлении. В частности:

.

Поэтому криволинейный интеграл II рода по замкнутому пути можно использовать для вычисления площади плоской фигуры, ограниченной этим замкнутым путём:

.