§ 3. Переход к полярным координатам.

В случаях если область интегрирования ограничена окружностями или прямыми, проходящими через начало координат, бывает полезно перейти к полярным координатам. Напомню формулы перехода:

, .

Верна ли формула

?

Изобразим геометрически элемент интегрирования . Это площадь прямоугольничка :

Теперь найдём прообраз этого прямоугольничка, т.е. фигуру, из которой он получился при преобразованиях координат , :

Площадь криволинейного прямоугольничка можно вычислить как разность площадей секторов:

.

Напомню, что площадь сектора находится по формуле , где - это центральный угол. В нашем случае он равен . Получаем:

.

При малых значениях вторым слагаемым можно пренебречь, поэтому считаем, что

.

Делаем вывод:

элемент площади надо заменять на .

Таким образом, справедлива формула:

.

Это частный случай общей формулы

,

где - якобиан:

.

Проверь, что в нашем случае якобиан был равен .

§ 4. Тройной интеграл.

Он определяется точно таким же образом, как и двойной. Перечислим основные свойства тройного интеграла:

1. .

2. .

3. (если и не имеет общих внутренних точек с ).

4. –

5. .

6. Если - прямоугольный параллелепипед:

,

то

.

7. Пусть - проекция тела на плоскость . Если - междуграфик, т.е. фигура, ограниченная снизу и сверху поверхностями и , а с боков – боковой поверхностью цилиндра с основанием :

то

.

Замечание.

Иногда удобно рассмотреть проекцию тела не на плоскость , а на другую координатную плоскость. Например, если - проекция тела на плоскость , то

,

где и - поверхности, которые ограничивают тело слева и справа соответственно.

§ 5. Переход к сферическим координатам.

Сферические координаты похожи на географические или астрономические, только для задания точки в пространстве нужны три координаты, а для определения точки на поверхности Земли достаточно двух: широты и долготы.

Очевидно,

Отсюда формулы перехода от декартовых координат к сферическим:

Чтобы в тройном интеграле перейти к сферическим координатам, надо вычислить якобиан. Теперь это уже определитель третьего порядка:

поэтому .

§ 6. Криволинейные интегралы I рода.

Пусть - некоторая функция, определённая в точках дуги , расположенной в плоскости . Разобьём дугу на частей:

.

Обозначим длину дуги :

.

Длину наибольшей дуги разбиения обозначим, как обычно:

.

На каждой из дуг разбиения выберем произвольную точку :

.

Сумма

называется интегральной суммой. Если существует предел

,

который не зависит от разбиения дуги и выбора точек , то он называется интегралом по дуге функции или криволинейным интегралом I рода. Обозначение такое:

.

Величина - это элемент длины дуги. У криволинейного интеграла I рода имеются свойства, которые в основном повторяют свойства уже известных нам интегралов:

1. .

2. .

3. , если точка принадлежит дуге .

4. Геометрический смысл.

Если , то

,

где - цилиндрическая поверхность с вертикальными образующими, ограниченная снизу дугой , а сверху – поверхностью :

Справедливость этого свойства следует из того, что каждое слагаемое интегральной суммы можно рассматривать как произведение длины средней линии трапеции с высотой . А это ни что иное, как площадь маленькой трапеции. Суммируя все площади маленьких трапеций, мы и получим , ч.т.д.

5. - длина дуги .

В самом деле, если , то интегральная сумма

,

естественно, равна длине дуги .

6. Если функция , то её можно ассоциировать с плотностью кривой , поэтому

,

где - масса дуги .

6. , т.е. значение криволинейного интеграла I рода не зависит от направления интегрирования. Это связано с тем, что элементом интегрирования является элемент длины дуги , который, естественно, всегда положителен, независимо от того, в какую сторону двигаться.