4. Модифіковані порядкові шкали

Багато з вимірюваних у порядкових (принципово дискретних) шкалах величин, наприклад сила вітру, глибина знань тощо, насправді мають неперервний характер. Для аналізу результатів їх вимірювань використовують менш строгі порядкові шкали. До них належать шкала твердості речовин за Моосом, шкала сили вітру за Бофортом, шкала магнітуд землетрусів за Ріхтером, шкала сили хвиль на морі, різні варіанти бальних шкал оцінки знань тощо.

Розглянемо деякі приклади.

Шкала твердості за Моосом. З двох матеріалів більш твердим вважається той, котрий залишає на іншому подряпини чи вм'ятини при досить сильному зіткненні. Відношення «А твердіше за В» є типовим відношенням порядку. У 1811 р. німецький мінералог Ф. Моос запропонував шкалу, що містить 10 класів речовин зі зростаючою твердістю: 1 - тальк, 2 - гіпс, 3 - кальцій, 4 - флюорит, 5 - апатит, 6 - ортоклаз, 7 - кварц, 8 - топаз, 9 - корунд, 10 - алмаз. Шкала штучно встановлює слабкий порядок. Градації твердості не мають числового характеру. Не можна говорити, що алмаз у 2 рази твердіший за апатит чи у 10 разів твердіший за тальк.

Шкала сили вітру за Бофортом. У 1806 р. англійський адмірал Ф. Бофорт запропонував 12-бальну шкалу сили вітру, визначаючи її за характером хвилювання моря та можливими руйнуваннями наземних об'єктів.

Шкала магнітуд землетрусів за Ріхтером. У 1935 р. американський сейсмолог Ч. Ріхтер запропонував 12-бальну шкалу для оцінки енергії сейсмічних хвиль залежно від наслідків їх проходження по даній території.

Бальні шкали оцінки знань. Такі шкали призначені для встановлення відносин порядку в рівні знань школярів і студентів. На сьогодні використовують різні шкали від 2-бальної (залік - незалік) до 100-бальних. Грубою методичною помилкою є визначення середнього бала, тому що для порядкових шкал ця величина не має сенсу. Малоефективними є також спроби зробити бальні шкали оцінки знань об'єктивними за допомогою введення незалежних стандартів. Викладачі й експерти по-різному розуміють вимоги стандартів, і оцінки все одно виявляються відносними. Відомо, що рівень знань відмінників різних шкіл і вузів помітно відрізняється. Тому у відповідальних випадках за необхідності зіставлення рівнів знань осіб, що навчаються чи закінчи­ли різні навчальні заклади, порівнюють безпосередньо їх знання (за допомогою конкурсів, олімпіад і т. п.), а не документи про успішність навчання.

Завдання. У НТУУ "КПІ" запропонована чотирирівнева 12- бальна шкала оцінок, відповідно до якої знання на кожному з рівнів оцінюють за 3-бальною шкалою. Студент, що складає іспит, вибирає рівень, за яким йому дають запитання й при задовільних відповідях, скажімо, на третьому рівні, він одержує 7, 8 або 9 балів. Як Ви вважаєте, чи є така шкала кращою за просту 12-бальну, де рівень запитань для всіх студентів однаковий?

5. Шкали інтервалів

Якщо для певної множини об'єктів можна вказати відстань між будь-якими двома елементами, виражену в деяких довільних одиницях, то для впорядкування елементів цієї множини використовують інтервальні шкали. Така шкала задається введенням початку відліку й одиниці вимірювань, які можуть бути обрані довільно. При використанні двох різних шкал вимірювань для впорядкування тієї самої множини значення х, що відповідає певному елементу в одній шкалі, буде пов'язане зі значенням у, яке відповідає цьому ж елементу в іншій шкалі, співвідношенням , де а>0 і b - деякі сталі. Інтервали між двома елементами в одній шкалі будуть у ту саму кількість разів більше за відповідні інтервали в іншій шкалі: . Відношення інтервалів, виражених у різних шкалах, буде однаковим для будь-якої пари елементів:

Прикладами величин, що припускають свободу вибору початку відліку та вимірюються в інтервальних шкалах, є температура, час, координати.

У шкалі інтервалів тільки інтервали мають значення справжніх чисел і з ними можна виконувати арифметичні операції. Самі значення не є справжніми числами й в окремих випадках результати операцій з ними можуть не мати сенсу. Наприклад, неправильно стверджувати, що температура води збільшилася в два рази при нагріванні від 10 до 20 °С чи що потенціальна енергія тіла зменшилася в 10 разів при переміщенні тіла з висоти 10 м на висоту 1 м. Єдиною новою порівняно з попередніми шкалами припустимою операцією над спостереженнями є визначення інтервалу (відстані) між ними. Над інтервалами можна виконувати будь-які арифметичні дії, а також використовувати придатні методи статистичної або іншої обробки даних. При цьому варто мати на увазі, що початкові моменти розподілів, зокрема середні значення, для інтервальних шкал є відносними, як і самі виміри. Варто виявляти обережність також і при визначенні різних статис­тичних параметрів, що розраховуються через початкові моменти розподілів, таких як відносна похибка (відношення стандартного відхи­лення до математичного очікування). Відповідні значення часто наводяться в спеціальній літературі. Однак вони мають сенс лише в тому випадку, коли зазначено використану для вимірів шкалу. Водночас центральні моменти, зокрема вибіркова дисперсія, мають об'єктивний сенс, оскільки виражаються не безпосередньо через виміри, а через інтервали.

Окремим випадком інтервальних шкал є шкали різниць (циклічні шкали, періодичні шкали). У них а = 1 і зв'язок між результатами вимірів однієї величини у двох різних шкалах визначається співвідношенням у = х + b.

Питання. Як Ви вважаєте, чи не слід запропоновану в НТУУ "КПІ" 12-бальну шкалу віднести до шкал інтервалів?