Предельные теоремы в схеме Бернулли

В схеме Бернулли вычисления по формуле биномиальной вероятности неэффективны, если:

n – велико (потенциально ),

p (или q) близко к 0 или 1.

Тогда применяются приближенные вычисления по так называемым предельным теоремам.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если величина ограничена при , то

Следствие. Если и n – велико, то вероятность отдельного события

, , – функция Гаусса (ее значения – в таблице).

Свойства функции Гаусса: , при .

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если величина ограничена при , условия и равносильны, то .

Следствие. Если и n велико, то вероятность интервального события

, – функция Лапласа (ее значения – в таблице).

Свойства функции Лапласа: , при .

Теорема Пуассона. Если при , то .

Следствие. Если р близко к нулю, n велико, но невелико, то .

Случайные величины

Случайная величина (СВ) в результате опыта может принимать то или ин значение, причем заранее известно какое именно. Соотношение между возможными значениями СВ и их вероятностями – закон распределения СВ.

СВ дискретна, если она может иметь дискретный (конечный или счётный) ряд значений , , …, , …. Обычно дискретная СВ задается таблицей (рядом) соответствия между и их вероятностями :

				…		…
				…		…

Здесь . На плоскости ломаная с вершинами – многоугольник (полигон) распределения СВ Х.

СВ непрерывна, если она может иметь непрерывное множество значений (промежуток и т.п.).

Закон распределения может характеризовать функция (вероятность того, что примет значение, меньшее ) – функция распределения вероятности (интегральная функция) случайной величины Х.

Для дискретной СВ: , ее график – ступенчатая линия.

Свойства функции распределения вероятностей:

1. – вероятность интервального события.

2. , т.е. функция распределения – неубывающая функция.

3. – ограниченность.

4. , – предельные свойства.

5. Для непрерывной СВ вероятность любого отдельного значения равна нулю .

Непрерывная СВ имеет плотность распределения (дифференциальная функция) , если ее функция распределения . График функции – кривая распределения непрерывной СВ.

Свойства плотности:

а) – условие нормировки, б) , в) , г) .

Числовые характеристики СВ.

1. Математическое ожидание – оценивает «среднее» значение (центр распределения) СВ :

– для дискретной СВ, – для непрерывной СВ, имеющей плотность.

Свойства математического ожидания:

а) – математическое ожидание постоянной величины,

б) числовой множитель выносится за знак математического ожидания: ,

в) – математическое ожидание произведения независимых СВ,

г) – математическое ожидание суммы СВ.

2. Дисперсия (рассеяние) – математическое ожидание квадрата отклонения СВ от её математического ожидания: . Формула для расчета .

– для дискретной СВ,

– для непрерывной СВ, имеющей плотность.

Свойства дисперсии:

а) – дисперсия постоянной величины,

б) ,

в) – дисперсия суммы независимых СВ,

3. Среднее квадратичное отклонение (СКО) – оценивает «средний» разброс СВ.

4. Мода: для дискретной СВ – её наиболее вероятное значение, для непрерывной – точка максимума плотности.

5. Медиана – такое её значение, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина больше или меньше , то есть .

6. Начальный момент порядка – математическое ожидание величины : – для учета больших, но маловероятных значений СВ. В частности, , , .

7. Центральный момент порядка – математическое ожидание величины : . В частности , .

8. Абсолютный центральный момент порядка – математическое ожидание величины : .

9. Асимметрия – отношение центрального момента третьего порядка к кубу СКО: .

, если «длинная часть» кривой распределения расположена справа от прямой или от моды, , если слева.

10. Эксцесс – – для оценки «крутизны» (большего или меньшего подъёма кривой распределения по сравнению с нормальным – см. далее).

– кривая распределения имеет более высокую и острую вершину, чем кривая Гаусса; если , то – более низкую и плоскую вершину, чем у кривой Гаусса (при этом предполагается, что нормальное и рассматриваемое распределение имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии).