Элементы комбинаторики

Для оценки классической вероятности требуются правила вычисления количества комбинаций, способов выбора и т.п.

1. Правило умножения. Для выполнения некоторой операции требуется выполнить одно за другим действий (т.е. они совместимы). Если первое действие можно выполнить способами, после чего второе – способами и т. д. до -го действия, которое можно выполнить способами, то операцию можно выполнить способами.

2. Правило сложения. Для выполнения некоторой операции требуется выполнить действий, причем никакие два из них не могут производиться одновременно (действия попарно несовместны). Если первое действие можно выполнить способами, второе – способами и т. д., то операцию можно выполнить способами.

Применение этих правил не всегда удобно поэтому полезно знать правила подсчета комбинаций – выборок.

Выборка – это комбинация длиной в элементов из заданных элементов (из по ).

Признаки различия выборок:

1) допускается ли повторение элементов;

2) учитывается ли порядок следования элементов.

Типы выборок	Определение	Количество
Перестановка без повторений	выборка из по ( ) без повторений с учётом порядка
Размещение без повторений	выборка из по ( ) без повторений с учётом порядка
Сочетание без повторений	выборка из по ( ) без повторений и без учёта порядка
Перестановка с повторениями	выборка с учётом порядка всех элементов, из которых элементов принадлежит первому типу, – второму, и т. д., – -му типу, при этом , а элементы одного типа неразличимы между собой
Размещение с повторениями	выборка из по (возможно ) с повторениями и с учётом порядка
Сочетание с повторениями	выборка из по (возможно ) с повторениями и без учёта порядка

Геометрическая вероятность

Недостаточность классической вероятности – рассматривается конечный набор элементарных исходов.

Рассмотрим случай, когда элементарные исходы образуют множество , имеющую меру (длину, площадь, объем). Событие – точка, брошенная наудачу в область , попадёт в ее часть мерой . Тогда

.

Схема Бернулли (Последовательность независимых испытаний)

Пусть одно за другим производятся n «испытаний», т.е. неоднократно производится наблюдение за наступлением представляющего интерес события А, причем:

испытания независимы – результат любого испытания не влияет на исход остальных,

к каждом испытании вероятность А постоянная и равна р.

Тогда задана вероятностная модель – схема Бернулли.

Вероятность того, что А наступит в m испытаниях с определёнными номерами, а в остальных не наступит (т.е. с вероятностью q=1-p произойдет ), равна .

Основная задача: вычислить вероятность того, что событие А произойдёт m раз ( ). Здесь m – количество успехов.

Биномиальная вероятность (формула Бернулли) для вероятности отдельного события:

.

Этот результат можно обобщить на случай k наблюдаемых событий. Если в каждом испытании может произойти только одно из k событий А₁, А₂, … , А_k, испытания независимы, и в каждом из них событие А_i происходит с вероятностью р_i, то вероятность того, что в n независимых испытаниях появятся m₁ событий А₁, m₂ событий А₂, …M_k событий А_k, равна .

Вероятность того, что число успехов m заключено в заданных пределах (интервальное событие):

.

Вероятность хотя бы одного успеха ( удобно через вероятность противоположного события:

.

Наиболее вероятное число успехов – то точка максимума функции – определяется из двойного неравенства: . Если – целое число, то наиболее вероятны и .

Среднее число успехов –