Теория вероятностей и математическая статистика Литература

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.

Основные понятия теории вероятностей

Операции над событиями:

1) произведение: АВ – одновременное наступление событий А и В,

2) сумма: А+В – наступление А или В (возможно, обоих сразу),

3) разность: – событие А происходит, а событие В – нет.

Пример. Игральная кость брошена один раз. События: А – выпадение на верхней грани 6 очков, В – выпадение трёх очков, С – выпадение чётного числа очков, – выпадение числа очков, кратного трём. Тогда , .

Типы событий при данном комплексе условий:

достоверное событие ( ) – происходит всегда,

невозможное событие ( ) – не происходит никогда,

случайное событие – не является ни достоверным, ни случайным,

несовместимые события А и В – не происходят одновременно – АВ= ,

независимые события – наступление одного не влияет на шанс наступления другого,

противоположное событие ( ) – событие А не происходит,

полная группа событий – сумма таких событий достоверна.

Поле событий – множество содержащее: события, всевозможные операции над этими событиями, достоверное и невозможное события.

Определение вероятности. На поле событий S задана вероятность (определена вероятностная модель), если каждому событию A из S соответствует число , удовлетворяющее аксиомам А.Н. Колмогорова:

А1. .

А2. .

А3 (аксиома сложения). – для несовместимых А и В.

Предмет теории вероятностей – построение и изучение вероятностных моделей массовых (повторяющихся многократно) случайных (с непредсказуемым исходом) явлений.

Свойства вероятности

1. и , .

2. .

3. – для любых событий (для несовместимых ).

4. – для независимых событий.

5. – вероятность А при условии наступления В (условная вероятность), если А не зависит от В,

то .

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пусть событие происходит только при наступлении одного из событий , , …, , (гипотез), которые:

попарно несовместимы,

образуют полную группу.

1. Для вычисления вероятности наступления А применяется формула полной вероятности:

.

2. Для вычисления вероятности гипотезы , которая привела к наступлению А, применяется формула Байеса:

.

Классическая вероятность

Пусть в данных условиях может произойти только одно из n событий (элементарных исходов), которые:

попарно несовместимы,

равновозможны (равновероятны),

образуют полную группу.

Если событие А заключается в наступлении одного из m элементарных исходов (благоприятные исходы), то

.

Это отношение количества благоприятных исходов к общему количеству исходов.

Пример. Найти вероятность того, что абонент забыл одну цифру номера телефона, но набрал её верно.

Решение. Абонент мог набрать любую из 10 цифр – это элементарные исходы, т.к. они: попарно несовместимы (выбирается только одна цифра), равновероятны (выбор наудачу) и образуют полную группу (хотя бы одна цифра обязательно будет выбрана), то есть . Значит, можно использовать классическую вероятность.

Событие А– набрана нужная цифра. Для А благоприятен всего один исход (нужная цифра всего одна), значит . Итак, .