8.3. Таблицы смертности

Таблицы смертности (дожития) – это первый и самый распространенный и важный вид демографических таблиц.

Таблицы смертности (дожития) – это числовые модели

смертности, служащие для характеристики ее общего уровня и

возрастных особенностей в различных населениях.

Они представляют собой систему упорядоченных по возрасту и взаимосвязанных между собой рядов чисел, которые в своей совокупности описывают процесс вымирания некоторого теоретического поколения с фиксированной начальной численностью (корень таблицы). Обычно ее принимают равной некоторой степени 10, т.е. 10 000, 100 000, 1 000 000 и т.п. Чаще всего за корень таблицы смертности принимают 100 000.

В демографии различают таблицы смертности для реального и условного поколения.

В зависимости от шага временной шкалы различают полные (шаг = 1 году) и краткие (шаг = 5 или 10 годам) таблицы.

8.4. Построение таблиц смертности

8.4.1. Построение полной таблицы смертности

Построение таблиц смертности является в принципе несложной, но достаточно трудоемкой вычислительной процедурой. Она включает в себя несколько этапов:

• расчет значений исходного показателя для всех возрастов на

основе данных статистики смертности (распределения умерших

по возрастам);

• если необходимо, обработку этого ряда значений для устранения

искажений, вызванных возрастной аккумуляцией;

• интерполяцию ряда значений для устранения возможных

пропусков или экстраполяцию для расчета значений для самых

старших возрастов;

• вычисление остальных функций таблицы смертности.

Современные таблицы смертности рассчитываются с помощью косвенного, или демографического, метода. Заслуга разработки демографического метода принадлежит шведскому статистику П.В. Варгентину (1717 – 1783), А. Кетле и У. Фару. Демографический метод назван так потому, что в его основе данные о повозрастной смертности, а также о возрастно-половой структуре населения, получаемые во время переписей и текущего учета. Косвенным этот метод назван, чтобы противопоставить его так называемому прямому методу, или, иначе, методу Р. Бека, основанному на непосредственном расчете показателей таблицы смертности в ситуации, когда известно распределение смертей на элементарные совокупности сетки Лексиса. Демографический метод позволяет строить таблицы смертности, наиболее адекватно отражающие ее уровень. При этом на величину итоговых показателей не влияют колебания чисел родившихся и умерших в годы, предшествовавшие расчету. Исходным показателем здесь служит повозрастной коэффициент смертности, который приравнивается к табличному коэффициенту смертности (d_x / L_x) и на основе которого определяются все функции таблицы смертности, начиная, разумеется, с вероятности умереть в возрасте х лет.

Основная проблема построения таблиц смертности связана с переходом от реальных показателей повозрастной смертности к табличным вероятностям умереть в данном возрасте, т.е. от m_x к q_x. Проблема эта состоит в том, что первые рассчитываются по отношению к общему числу человеко-лет, прожитых населением на возрастном интервале, или к его приближению, т.е. среднегодовому населению. Вторые же рассчитываются по отношению к численности населения в начале возрастного интервала. Чтобы построить таблицу смертности, надо установить соотношение между ними, т.е. между m_x и q_x. Иначе говоря, нужно перейти от m_x к q_x. Современный вариант демографического метода построения таблиц смертности разработан во второй половине 1960-х гг. американским демографом китайского происхождения Чинлонг Чанем. В настоящее время большинство таблиц смертности для населений с хорошо налаженным текущим учетом и регулярным проведением переписей строится именно по методу Чинлонг Чаня. Именно этот метод реализован в специальных прикладных пакетах демографического анализа.

Пусть N_x – число доживающих до возраста х лет в реальном населении. Из этого числа до следующего возраста х+1 лет не доживет D_x. Тогда, по определению:

q_x = D_x / N_x.

Вместе с тем, повозрастной коэффициент смертности m_x равен отношению D_x к числу человеко-лет, прожитых N_x в течении интервала (х, х+1). Это число человеко-лет, в свою очередь, равно сумме двух слагаемых.

• Первое слагаемое – это (N_x - D_x), т.е. число человеко-лет на этом

интервале возраста теми, кто дожил до возраста (х+1) год.

• Второе слагаемое – это число человеко-лет, прожитых на этом

интервале возраста теми, кто не дожил до возраста (х+1), т.е.

умер на интервале возраста (х, х+1). Это число равно a′_x × D_x.

Отсюда m_x = D_x / (N_x – D_x) + a′_xD_x, или учитывая, что число человеко-лет (N_x – D_x) + a′_xD_x равно среднегодовому населению, P̃_x, m_x = D_x / P̃_x. Последнее выражение есть формула расчета повозрастного коэффициента смертности.

Решим уравнение P̃_x = (N_x – D_x) + a′_xD_x относительно N_x:

N_x = P̃_x + (1 - a′_x)D_x.

Подставим это выражение в приведенную выше формулу для q_x :

q_x = D_x / P̃_x + (1 - a′_x)D_x.

Если числитель и знаменатель этого выражения разделить на P̃_x, то получим искомое базисное соотношение между q_x и m_x :

q_x = m_x / (1 - a′_x)m_x.

Данное уравнение является фундаментальным для построения современных таблиц смертности по демографическому методу.