3.4. Понятие асимметрии

и эксцесса распределения

Существует 2 типа отклонений распределения признака

от нормальной кривой:

1. Асимметрия (As) – при нормальном распределении мода

и медиана совпадают. При асимметрии мода отклоняется от

медианы вправо либо влево. Если мода отклоняется влево от

медианы, а правая ветвь кривой длиннее левой (т. е. является

более пологой), то говорят о положительной (правосторонней)

асимметрии, при этом коэффициент асимметрии As > 0

(рис. 3.5). Если мода отклоняется вправо от медианы, а левая

ветвь кривой длиннее правой, то говорят об отрицательной

(левосторонней) асимметрии, при этом коэффициент

асимметрии As < 0 (рис. 3.5).

As > 0 As = 0 As < 0

Рис. 3.5. Асимметрия распределения

2. Эксцесс (Ex) – изменение высоты модальных классов

эмпирической кривой относительно высоты модальных классов

70

нормальной теоретической кривой. Если вершина эмпирической

кривой оказывается сильно поднятой относительно вершины

нормальной кривой, то говорят о положительном эксцессе

распределения, при этом коэффициент эксцесса Ех > 0 (рис. 3.6).

Если вершина эмпирической кривой оказывается ниже вершины

нормальной кривой, то говорят об отрицательном эксцессе

распределения, при этом коэффициент эксцесса Ех < 0 (рис. 3.6).

Рис. 3.6. Эксцесс распределения

Таким образом, теоретическое нормальное распределение имеет

As = 0 и Ех = 0.

Примечание. Рассчитать коэффициенты асимметрии и эксцес-

са можно в модуле «Описательная статистика» (см. главу 2).

Причины возникновения асимметричных эмпирических

распределений могут быть разными:

1. «Механическая» причина – асимметричность распределе-

ния связана с неправильной группировкой значений признака по

классовым интервалам или с неправильным расчетом ширины

классового интервала. В результате с одной стороны кривой час-

тота встречаемости значений признака может оказаться больше,

чем с другой. Подобные асимметричные распределения называ-

ются ложными.

2. Модифицирующие условия внешней среды – действие

экстремальных или специфических факторов приводит к откло-

нению значений биологических признаков организма от «нор-

мы», и при изучении данных признаков распределение их оказы-

вается асимметричным.

3. Неоднородность выборки – объединение 2 разнородных

совокупностей, каждая из которых имеет нормальное распре-

деление, но в сумме они образуют асимметричное распределение

(как правило, бимодальное или двухвершинное, в общем случае –

полимодальное).

3.5. Биномиальное распределение

Во многом близко к нормальному. Отличие состоит лишь

в том, что оно характеризует поведение дискретных признаков, вы-

раженных целыми числами. Таким образом, при биномиальном

распределении проявляется та же самая закономерность, что и при

нормальном распределении: чем ближе значения дискретного при-

знака к центру распределения, тем выше вероятность их появления.

Математически распределение называется биномиальным,

если вероятности появления отдельных значений признака выра-

жаются величинами, соответствующими коэффициентам разло-

жения бинома Ньютона:

(р + q)к,

где р – вероятность появления признака,

q – вероятность непоявления признака,

к – число классов, отличающихся по появлению признака.

Коэффициенты при отдельных членах разложения бинома

Ньютона при возведении его в разные степени будут

следующими:

(р + q)1 = р + q

(р + q)2 = р2 + 2рq + q2

(р + q)3 = р3 + 3р2q + 3pq2 + q3

(р + q)4 = р4 + 4р3q + 6p2q2 + 4pq3 + q4

Эти коэффициенты можно легко получить с помощью

треугольника Паскаля, в котором цифры каждого последующего

ряда получаются путем сложения двух цифр ряда, располо-

женного над ним (рис. 3.7).

В основе биномиального распределения лежит альтерна-

тивное проявление качественного признака: он может быть

72

у единичного объекта или отсутствовать, проявиться или нет.

В гнездах древесной ласточки Tachycineta bicolor можно обнару-

жить 1 птенца или не одного, 2-х птенцов или не двух птенцов,

3-х птенцов или другое их количество и т. д.

Рис. 3.7. Арифметический треугольник Паскаля

Отдельный корнеплод может быть больным или здоровым

(признак качественный), тогда проба из нескольких корнеплодов

будет содержать некоторое число здоровых корнеплодов (признак

количественный), а множество равнообъемных проб образует

уже выборку чисел, для которой можно построить гистограмму

распределения. Вероятность отдельного события (корнеплод

больной) составляет p, а вероятность альтернативного события

(корнеплод здоровый) равна q = 1 − p. При равенстве вероят-

ностей __________событий p = q = 0.5 большинство проб (вариант) будет

иметь около половины возможных событий (поровну больных и

здоровых корнеплодов); распределение примет симметричную

форму (рис. 3.8). В случае неравенства вероятностей наблюдается

та или иная степень асимметрии распределения (Ивантер,

Коросов, 2003).

73

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Рис. 3.8. График биномиального распределения (при p = q = 0.5)

Примерами описания признаков с помощью биномиального

распределения могут служить поражения глистными инвазиями

рыб, пелорическая форма цветка в популяциях львиного зева

(Плохинский, 1970); число поврежденных участков на листьях,

число волосков на единице площади шкурки, количество лучей

в плавниках рыб, число хвостовых щитков у рептилий, плодо-

витость (размер выводка) самок (Ивантер, Коросов, 2003); число

листочков околоцветника у Anemone nemorosa L. (Шмидт, 1984);

типичная область применения в экологии – описание одно-

родности сообщества по встречаемости видов (Пузаченко, 2004).