2 1.Параллелепипед и его свойства

Параллелепипед — призма, основанием которой служит параллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них — параллелограмм.

Типы параллелепипедов

:Различается несколько типов параллелепипедов:

• Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники;

• Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого 4 боковые грани — прямоугольники;

• Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.

Основные элементы:

Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро — смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.

Свойства:

• Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.

• Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

• Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

• Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

22.Пирамида.Объем пирамиды. Площадь поверхности пирамиды

П ирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — произвольный многоугольник, а остальные — боковые грани — треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды.

Элементы пирамиды:

• апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины^[4];

• боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды;

• боковые ребра — общие стороны боковых граней;

• вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;

• высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);

• диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;

• основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Cвойства пирамиды::

1. Боковые ребра пирамиды равны.

2. Боковые ребра пирамиды одинаково наклонены к основанию пирамиды.

3. Вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около основания пирамиды.

4. Высоты всех боковых граней пирамиды, проведенные из вершины пирамиды, равны, а высота пирамиды лежит внутри пирамиды.

5. Все двугранные углы при основании пирамиды равны.

6. Вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.

7. В правильной треугольной пирамиде противоположные ребра попарно перпендикулярны.

8. Если боковые ребра пирамиды равны между собой, то в основании лежит правильный многоугольник, вокруг которого можно описать окружность, а вершина пирамиды проецируется в центр этой окружности.

9. Если двугранные углы при основании пирамиды равны между собой, то в основании пирамиды лежит многоугольник, в который можно вписать окружность, а вершина пирамиды проецируется в центр этой окружности.

Площадь поверхности и объём пирамиды

Пусть   — высота пирамиды,   — периметр основания пирамиды,   — площадь основания пирамиды,   — площадь боковой поверхности пирамиды,   — площадь полной поверхности пирамиды,   — объем пирамиды. Тогда имеют место следующие соотношения:

10.