Ответы к экзамену по математике. 2 семестр.

1.Определение производной функции

Производная служит обобщением понятия мгновенной скорости на случай абстрактных математических функций.Рассмотрим функцию y = f(x). Напомним, что x называется аргументом данной функции.Отметим на оси X некоторое значение аргумента x, а на оси Y — соответствующее значение функции f(x) (рис. 4).

Рис. 4. Приращение аргумента и приращение функции

Дадим аргументу x некоторое приращение, обозначаемое x. Попадём в точку x + x.

Обозначим её на рисунке вместе с соответствующим значением функции f(x + x).

Величина

f = f(x + x) f(x) (11)

называется приращением функции, которое отвечает данному приращению аргумента x. Приращение аргумента x есть абстрактный аналог промежутка времени t, а соответствующее приращение функции f — это аналог пути s, пройденного за время t. Но на этом аналогия не заканчивается. Производная — это в точности аналог мгновенной скорости.

Можно сказать, что производная — это мгновенная скорость изменения функции.

2.Формулы дифференцирования

3.Производные тригонометрических функций

4.Уравнение касательной к графику функции (геометрический смысл производной)

Геометрический смысл производной.

Тангенс угла наклона касательной (угловой коэффициент наклона касательной), проведенной к графику функции в точке равен производной функции в этой точке:

Заметим, что угол – это угол между прямой и положительным направлением оси ОХ:

Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид:

В этом уравнении:

– абсцисса точки касания,

– значение функции в точке касания,

– значение производной функции в точке касания.

Уравнение касательной к графику функции:

Определение

Пусть дана функция f, которая в некоторой точке x0 имеет конечную производную f (x0). Тогда прямая, проходящая через точку (x0; f (x0)), имеющая угловой коэффициент f ’(x0), называется касательной.А что будет, если производная в точке x0 не существует? Возможны два варианта:

Касательная к графику тоже не существует. Классический пример — функция y = |x| в точке (0; 0).

Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции y = arcsin x в точке (1; π/2).

Уравнение касательной

Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b, где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x0, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.Итак, пусть дана функция y = f (x), которая имеет производную y = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x0 ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:

y = f ’(x0) · (x − x0) + f (x0)

Здесь f ’(x0) — значение производной в точке x0, а f (x0) — значение самой функции.

Задача

Дана функция y = x3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x0 = 2.

Решение

Уравнение касательной: y = f ’(x0) · (x − x0) + f(x0). Точка x0 = 2 нам дана, а вот значения f (x0) и f ’(x0) придется вычислять.Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x0) = f (2) = 23 = 8;

Теперь найдем производную: f ’(x) = (x3)’ = 3x2;

Подставляем в производную x0 = 2: f ’(x0) = f ’(2) = 3 · 22 = 12;

Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.

Это и есть уравнение касательной.

Ответ

y = 12x – 16