1.6 Числові характеристики неперервних випадкових величин.

Математичне сподівання (очікування) неперервної величини

M(x)= , 1.6.1

Де f(x) – щільність розподілу.

Дисперсія.

1.6.2

1.7 Середнє квадратичне відхилення

1.7.1

1.8 Нормальний закон розподілу

Ймовірність того ,що випадкова величина прийме значення, що належить інтервалу (α;β), обчислюється за формулою:

1.8.1

Де Ф(х)- функція Лапласа, дивись додаток 2

Ф(-х)=-Ф(х)

- середнє квадратичне відхилення,

а – математичне сподівання, тобто середнє значення.

1.9 Ймовірність того, що абсолютна величина відхилення менше додатного числа ξ (епсілон), обчислюється за формулою:

Р(│х-а│<ξ)=2Ф( ) 1.9.2

2 Розв’язування типових задач

2.1 Пристрій складається з трьох елементів, ймовірність відмови кожного елемента в одному іспиті дорівнює 0,1. Скласти закон розподілу числа елементів в одному іспиті.

Розв'язання

Дискретна випадкова величина Х має слідуючи можливі значення :

Х₁=0 (ні один з елементів пристрою не відмовив)

Х₂=1 (відмовив один елемент)

Х₃=2 (відмовили два елементи)

Х₄=3 (відмовили три елементи)

Ймовірність відмови кожного елемента дорівнює 0,1, тоді q=1-0,1=0,9.

За формулою Бернулі розрахуємо ймовірність всіх можливих випадків:

Запишемо біноміальний закон розподілу:

Таблиця 2.1.1 Біноміальний закон розподілу:

	0	1	2	3
	0,729	0,243	0,027	0,001

Контроль: 0,729+0,243+0,027+0,001=1

Знайдемо математичне сподівання:

Знайдемо дисперсію випадкової величини:

2.1.1

М(х²)= 0² 0,729+1² 0,243+2² 0,027+3² 0,001 = 0,243+4 0,027+9 0,001=

0,243+0,108+0,009=0,360

Д(х)=0,36-(0,4)²=0,36-0,16=0,2

Знайдемо середнє квадратичне відхилення:

(х)=

Побудуємо полігон ймовірності:

Малюнок 1 Полігон ймовірності

Задача 2.2

Знайти дисперсію випадкової величини Х, заданої функцією розподілу:

F(х)

Розв’язання

D(Х)

Знайдемо щільність розподілу

f(x)=

Знайдемо математичне очікування:

М(х) = =

Знайдемо дисперсію:

Відповідь:

Задача 2.3

З адана інтегральна функція розподілу випадкової неперервної величини

0, якщо х  -1

F(х) = Ах +В, якщо –1  х  3

1, якщо х  3

1. Знайти параметри А і В

2. Накреслити графік у = F(х)

3. Визначити ймовірність, що випадкова величина Х  [1;5]

4. Обчислити математичне сподівання і дисперсію заданої випадкової величини.

Розв’язання:

1. Користуючись властивістю інтегральної функції:

,

Тоді

2. Графік F(x)

F (x)

-1 3 х

3. Р(1  х  5) = F(5) - F(1) = 1- =

2.3.4 Знайдемо щільність розподілу

f(x) = F(x)=

Математичне сподівання: М(х)=

Дисперсія: D (х) =

Задача 2.4

Середня вага риби однієї породи та одного віку 375 гр., відхилення ваги характеризується середнім квадратичним відхиленням .Визначити:

2.4.1 ймовірність того , що вага спійманої риби однієї породи буде обмежена від 325 гр. до 425 гр.;

2.4.2 вагу, яка не перевищує спіймана риба із ймовірністю р=0,9960

Розв’язання:

2.4.1 Р

α = 325 см

β = 425 см

σ =25 см

а =375-математичне сподівання

Підставимо значення у формулу

Р(325 < х < 425) = Ф( )-Ф( ) =

= Ф( ) - Ф( ) = Ф(2)+Ф(2) = 0,4772+0,4772 = 0,9544

Відповідь: р = 0,95

2.4.2 Знайти вагу, яка не перевищує спіймана риба із ймовірністю р=0,9960, тобто треба із формули ймовірності того, що абсолютна величина відхилення менша числа  (епсілон).

Розв’язання

Знайдемо . за формулою Р = 2 Ф ,

маємо: 0,9960= 2Ф ,

поділимо обидві частини на 2, отримаємо:

0,4980=Ф , із таблиці “додаток 2”, знайдемо .

= 2,88, =72 г. Відповідь: 72 г.